Antonio Dirceu Rabelo de Vasconcelos Filho

Apresentação em tema: "Antonio Dirceu Rabelo de Vasconcelos Filho"— Transcrição da apresentação:

1 Antonio Dirceu Rabelo de Vasconcelos Filho
Seminário sobre Busca em Grafos Antonio Dirceu Rabelo de Vasconcelos Filho Roberta Beltrão Correia Lima

2 Busca em Grafos - Tópicos
Introdução Grafos x Árvores Processo Geral Busca em Profundidade Busca em Largura Grafos Não-Conexos Complexidade

3 Introdução O que é um grafo? Qual o objetivo da busca em grafos?

4 Grafos x Árvores A B C D E F
Quando o grafo é uma árvore o problema da busca se torna simples, pois existe uma ordem “natural” para percorrê-lo, uma vez que eles são claramente divididos em raiz, sub-árvore da esquerda e sub-árvore da direita. B C D E F

5 Grafos x Árvores A B C D E F
Para caminhar em uma árvore temos quatro tipos de busca: Pre-Order (Pre-Ordem); In-Order (Central); Pos-Order (Pós-Ordem); Por Nível. B C D E F

6 Grafos x Árvores A B C D E F Pre-Order (Pre-Ordem): 1º. Visita a raiz;
2º. Percorre a sub-árvore da esquerda; 3º. Percorre a sub-árvore da direita. B C D E F

7 Grafos x Árvores A B C D E F In-Order (Central):
1º. Percorre a sub-árvore da esquerda; 2º. Visita a raiz; 3º. Percorre a sub-árvore da direita. B C D E F

8 Grafos x Árvores A B C D E F Pos-Order (Pós-Ordem):
1º. Percorre a sub-árvore da esquerda; 2º. Percorre a sub-árvore da direita. 3º. Visita a raiz; B C D E F

9 Grafos x Árvores A B C D E F Por Nível:
Percorre-se um nível de cada vez, sendo cada nível percorrido da esquerda para a direita. B C D E F

10 Grafos x Árvores Pre-Order: A B D F E G H I K J C Ex.:
In-Order: F D B G E I K H J A C Pos-Order: F D G K I J H E B C A Por Nível: A B C D E F G H I J K Ex.:

11 Grafos x Árvores Quando o grafo não tiver a propriedade de árvore não há um referencial geral a ser considerado, ou seja , não são definidos conceitos de esquerda, direita e nível. Assim o processo de busca se torna mais difícil.

12 Grafos x Árvores Desse modo surgem as perguntas:
Como caminhar no grafo de modo a visitar todos os vértices e arestas, evitando, contudo, repetições desnecessárias? Como definir um caminhamento sistemático no grafo, de modo que fique determinado qual o vértice a ser visitado na seqüência de visitas?

13 Processo Geral Seja G um grafo no qual todos os vértices estão inicialmente desmarcados. Inicialmente, marca-se como visitado um vértice v escolhido arbitrariamente. Esse vértice inicial é chamado de raiz de busca. Seleciona-se uma aresta que parte de algum vértice já marcado v. Marca-se então a aresta (v,w) como explorada e o vértice w como visitado (caso ainda não o seja). O processo termina quando todas as arestas de G tiverem sido selecionadas.

14 Processo Geral Algoritmo de busca geral: Dados: grafo G (V,E)
Escolher e marcar um vértice inicial Enquanto existir algum vértice v marcado e incidente a uma aresta (v,w) não explorada, faça explorar a aresta (v,w) se w é não marcado então marcar w A D C B E

15 Processo Geral Note que durante o processo de exploração de um vértice é possível que ele seja alcançado diversas vezes (tantas quantas forem o número de arestas incidentes). Nos critérios de busca em profundidade e busca em largura, que veremos a seguir, a escolha do próximo vértice torna-se única, mas para os casos do vértice inicial e aresta incidente a escolha permanece arbitrária.

16 Busca em Profundidade (Depth-First Search)
Dentre todos os vértices marcados e incidentes a alguma aresta ainda não explorada, escolher aquele mais recentemente alcançado na busca. Um detalhe importante é que usamos o auxílio de uma pilha para guardar os vértices já marcados.

17 Busca em Profundidade (Depth-First Search)
Procedimento P (v,pai) marcar v; colocar v na pilha Q; para toda aresta (v,w) faça se w é não marcado então visitar (v,w); marcar (v,w) como aresta de árvore; P(w,v); senão se w  pai então visitar (v,w); marcar (v,w) como aresta de retorno; senão visitar (v,w); retirar v da pilha fim_do_procedimento Ex. 1 6 3 2 4 5

18 Busca em Profundidade (Depth-First Search)
O algoritmo particiona as arestas em: Arestas de Árvore; Arestas de Retorno. As arestas de árvore constituem uma árvore geradora de G. As arestas de retorno, cada uma por sua vez, liga um vértice v a um ancestral seu.

19 Busca em Profundidade (Depth-First Search)
Ex.: Criar duas diferentes árvores geradoras para o grafo abaixo: v5 v4 v6 v3 v1 v2

20 Busca em Largura (Breadth-First Search)
Dentre todos os vértices marcados e incidentes a alguma aresta ainda não explorada, escolher aquele menos recentemente alcançado na busca. Um detalhe importante é que usamos o auxílio de uma fila para guardar os vértices já marcados.

21 Busca em Largura (Breadth-First Search)
Procedimento L (v,pai) marcar v; colocar v na fila Q; enquanto a fila Q não for vazia faça remover o 1º vértice w da fila; para todo (w,x) faça se x é não marcado então marque x; adicione (w,x) à árvore T; coloque x na fila Q; fim_do_procedimento Ex. 1 6 3 2 4 5

22 Grafos não-conexos Ex.: a b h e f g i c d
No caso do grafo não ser conexo o algoritmo de busca (profundidade ou largura) terá apenas uma modificação e seguirá o seguinte critério: Executa-se o algoritmo a partir de um vértice v qualquer. Se ao término do procedimento restar algum vértice do grafo G não marcado repete-se o procedimento para este vértice. Ex.: a b h e f g i c d

23 Complexidade O ( |V| + |E|)
Nos dois algoritmos de busca (largura e profundidade) observamos que cada aresta é visitada exatamente duas vezes (uma para cada vértice). Portanto o tempo de execução depende do número de arestas. Quando o grafo é não-conexo, temos que analisar os vértices que não estão conectados a ninguém. Assim, o tempo de execução também depende do nº de vértices. Conclusão: Para um grafo G (V,E) os algoritmos de busca em largura e em profundidade tem complexidade O ( |V| + |E|)

24 Conclusão