Planejamentos com Múltiplos Blocos Delineamento em blocos completos casualizados Um fator de perturbação é um fator que provavelmente tem um efeito sobre.

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1 Planejamentos com Múltiplos Blocos Delineamento em blocos completos casualizados Um fator de perturbação é um fator que provavelmente tem um efeito sobre a resposta, mas o pesquisador não está interessado neste efeito. Quando este efeito é conhecido e controlável, então pode-se usar a técnica de blocagem para eliminar esse efeito da comparação entre os tratamentos. Blocos

2 Relembrando: O modelo estatístico para i=1,2,...,a tratamentos j=1,2,...,b blocos  é a média geral  i é o efeito fixo do i-ésimo tratamento  j é o efeito fixo do j-ésimo bloco  ij é o erro aleatório. Assume-se que  ij ~ NID(0,  2 ) Hipóteses: Partição da soma de quadrados total corrigida é dada por: S.Q.Total (corrigida) = S.Q Tratamentos + S.Q Blocos + S.Q.Erro

3 Fórmulas operacionais: Graus de liberdade: SQ T SQ Blocos SQ Tratamentos SQ Erro N-1 b-1 a-1 ab-1-(a-1)-(b-1)=(a-1)(b-1) Quadrados médios:

4 Esperanças dos quadrados médios: Teste de igualdade de médias de tratamentos (Teste F) Rejeita-se H 0 se F 0 > F ,a-1,(a-1)(b-1)

5 Delineamento Quadrado Latino Este delineamento utiliza um duplo bloqueamento. Deseja-se controlar duas fontes de variabilidade, portanto vamos ter duas restrições na casualização. COLUNASCOLUNAS LINHASLINHAS

6 Exemplo: um pesquisador está estudando o efeito de 4 tratamentos (A, B, C e D), sobre o aroma (escala hedônica de 7 pontos) de um legume. Foram utilizados 4 julgadores, provavelmente existe diferenças (exemplo: experiência, capacidade) entre os mesmos. Além disso, foram utilizadas 4 ordens de atribuição dos tratamentos aos julgadores. Dois fatores de perturbação (nuisance): julgadores e ordens. Cada tratamento será testado uma única vez por cada julgador e para cada ordem. A tabela a seguir mostra o esquema geral deste delineamento.

7 Casualização de um quadrado latino: Existem muitos quadrados latinos para um dado número de tratamentos ( p), veja tabela 4-12, página 140, Montgomery (2005). Vamos utilizar um quadrado latino padrão, os quais são quadrados latinos cujos elementos da primeira linha e primeira coluna são ordenados alfabeticamente. Procedimento: 1 - Para p=3 e p=4, fazer um sorteio aleatório das linhas, com exceção da primeira, e um sorteio aleatório de todas as colunas (independentemente). 2 – Para p=5 ou mais, fazer um sorteio aleatório de todas as linhas e todas as colunas. 3 – Faça um sorteio aleatório dos tratamentos às letras. Para p=3 Quadrado latino padrão

8 Modelo estatístico: y ijk é a observação na i-ésima linha e k-ésima coluna do j-ésimo tratamento;  é a média geral;  i é o efeito da i-ésima linha;  j é o efeito do j-ésimo tratamento;  k é o efeito da k-ésima coluna.  ijk é o erro aleatório e supõe-se que tenham distribuição normal, sejam independentemente distribuídos com média 0 (zero) e variância  2. Alternativamente, os testes de hipóteses e intervalos de confiança podem ser justificados aproximadamente pela teoria da aleatorização.

9 Análise de variância: A partição da variabilidade total é dada por: SQ T = SQ Linhas + SQ Colunas + SQ Tratamentos +SQ E Onde:

10 O teste estatístico de igualdade entre as médias de tratamento é dado por: Rejeita-se a hipótese nula se F 0 >F  ;(p-1);(p-2)(p-1). (Usar o nível descritivo)

11 Exemplo : Interpretações: conclui-se que não há diferenças significativas entre os 4 tratamentos. Neste experimento não há forte evidência de diferenças entre julgadores e entre as ordens de realização dos tratamentos. Repetições de quadrados latinos A desvantagem de quadrados latinos pequenos é que eles fornecem poucos graus de liberdade para o resíduo, como, por exemplo, na análise acima em que tem-se apenas 6 gl para o resíduo. Nestes casos é desejável repetir o quadrado latino.

12 Maneiras de repetir um quadrado latino: 1 - Usar os mesmos julgadores e as mesmas ordens; 2 - Usar os mesmos julgadores mas diferentes ordens em cada repetição, ou, de forma equivalente, usar as mesmas ordens mas diferentes julgadores; Obs: Maneira mais adequada 3 - Usar diferentes ordens e diferentes julgadores. Vamos considerar o caso 2, onde outros 4 novos julgadores nas mesmas ordens serão utilizados numa nova repetição. Assim, temos 4 novas colunas dentro de cada repetição.O segundo quadrado latino é selecionado independentemente do primeiro. A Análise de variância completa deste caso pode ser vista na tabela 4-15, página 149, Montgomery (2001).

13 Quadrados Greco-Latino É uma extensão de um quadrado latino p x p, e é obtido através da superposição de um segundo quadrado latino no qual os tratamentos são representados por letras gregas. Cada letra grega deve aparecer uma e somente uma vez com cada letra latina (quadrados latinos ortogonais). A tabela abaixo ilustra esse delineamento. Permite o controle de três fatores de perturbação (nuisance), assim, pode-se usar 3 variáveis de bloqueamento. Pode-se estudar 4 fatores, cada um com p níveis, num total de p 2 realizações. Obs: não existe QGL para p=6. A primeira classe de cada uma das 3 variáveis de bloqueamento recebe o tratamento A, e assim por diante. Um exemplo, pode ser: ordens, sessões e julgadores.

14 Modelo:  é a média da população,  i é o efeito do linha i,  j é o efeito do tratamento j da variável de influência (letra latina),  k é o efeito do tratamento k da fonte (letra grega),  l é o efeito da coluna l,  ijkl é o erro aleatório, distribuído como NID(0, ). SST = SSTRATAMENTOS (Latinas) + SSTRATAMENTOS (gregas) + SSLINHAS + SSCOLUNAS + SSE

15 Planejamento Quadrado Greco-Latino

16 Exemplo