Árvores Binárias Estruturas de Dados Melissa Marchiani Palone Zanatta.

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1 Árvores Binárias Estruturas de Dados Melissa Marchiani Palone Zanatta

2 Aplicações Problemas de busca de dados armazenados na memória principal do computador: árvore binária de busca, árvores (quase) balanceadas como AVL, rubro-negra, etc. Problemas de busca de dados armazenados na memória secundárias principal do computador (disco rígido). No processamento de cadeias de caracteres: árvore de sufixos.

3 Aplicações Aplicações em Inteligência Artificial: árvores que representam o espaço de soluções, e.g. jogo de xadrez, resolução de problemas, etc. Na gramática formal: árvore de análise sintática. Em problemas onde a meta é achar uma ordem que satisfaz certas restrições (testar a propriedade de números consecutivos numa matriz, reconhecer em grafos: o intervalo; a planaridade)

4 Introdução Árvore binária: cada nó possui no máximo duas sub-árvores (grau <= 2); Os nós de uma árvore binária contêm no máximo dois links: Filho esquerdo (B) e Filho direito (C)

5 Introdução Filho e Pai: Um nó y abaixo de um nó x é chamado filho de x. x é dito pai de y. Exemplo: A é pai de B e C. Irmão: Nós com o mesmo pai são ditos irmãos. Exemplo: B e C são irmãos.

6 Introdução... O primeiro nó da árvore é o nó-raiz (A) O filho esquerdo é o primeiro nó na sub- árvore esquerda (B) E o filho direito é o primeiro nó na sub- árvore direita (C) O nó sem filhos é chamado de nó-folha (D, E, F).

7 Nomenclaturas Altura ou profundidade de uma árvore: É o máximo nível de seus nós. A árvore do exemplo tem altura 3. Folha ou nó terminal: É um nó que não tem filhos. Exemplo: D,E,F são folhas. Nó interno ou nó não terminal: É um nó que não é folha (B,C). Grau de um nó: É o número de filhos do nó. Exemplo: B tem grau 1, D tem grau 0.

8 Caminhamento em Árvore É a maneira ordenada de percorrer todos os nodos da árvore; É utilizada, por exemplo, para consultar ou alterar as informações contidas nos nós.

9 As três maneiras mais usuais para percorrer os nós são: ◦Pré-fixado / Pré-ordem ◦In-fixado / In-ordem ◦Pós-fixado / Pós-ordem Ordem de percurso

10 Pré-ordem ◦visita a raiz ◦percorre a sub-árvore da esquerda ◦percorre a sub-árvore da direita Ordem de percurso Percurso pré-ordem: A B D C E F

11 In-ordem ◦percorre a sub-árvore da esquerda ◦visita a raiz ◦percorre a sub-árvore da direita Ordem de percurso Percurso in-ordem: D B A E C F

12 Pós-ordem ◦percorre a sub-árvore da esquerda ◦percorre a sub-árvore da direita ◦visita a raiz Ordem de percurso Percurso pós-ordem: D B E F C A

13 Operações associadas ao TAD árvore binária padrão Criar uma árvore vazia Verificar se árvore está vazia ou não Buscar um elemento na árvore Inserir um nó raiz Inserir um filho à direita de um nó Inserir um filho à esquerda de um nó Esvaziar uma árvore Exibir a árvore

14 Exercícios Dado a árvore abaixo, apresente os percursos em: Pré-ordem; In-ordem; Pós-ordem.

15 Exercícios Dado a expressão: (a+b)/(c–d)*(e+f) monte a árvore equivalente e responda: ◦Em que ordem está ? (pré, in ou pós) ◦Monte a expressão nas outras ordens

16 Exercícios (graficamente) Crie as seguintes árvores binárias: 47, 25, 77, 11, 43, 65, 93, 7, 17, 31, 44, 68 refaça a árvore anterior com os mesmos números, mas em ordem inversa (comece inserindo o 68 na raiz). Luis, Carlos, Maria, Mara, Nair, Antonio, Paulo. Apresente os percursos das árvores acima (pré / in / pós ordem)