Problemas envolvendo otimização de processos Prof. Félix Monteiro Pereira.

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1 Problemas envolvendo otimização de processos Prof. Félix Monteiro Pereira

2 Algoritmos de otimização: NMinimize ou NMaximize no Mathematica PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS

3 Algoritmos de otimização: NMinimize ou NMaximize no Mathematica ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS

4 Algoritmos de otimização: NMinimize ou NMaximize no Mathematica PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS

5 Algoritmos de otimização: NMinimize ou NMaximize no Mathematica Dois produtos, A e B, são feitos a partir de duas operações. Cada unidade do produto A requer 02 horas da operação 1 e 03 horas da operação 2. Cada unidade do produto B requer 03 horas da operação 1 e 04 horas da operação 2. O tempo total disponível para a realização da operação 1 é de 16 horas, e o tempo total para a operação 2 é de 24 horas. A produção do produto B resulta, também, num subproduto C sem custos adicionais. Sabe-se que parte do produto C pode ser vendido com lucro, mas o restante deve ser destruído. Previsões mostram que no máximo 05 unidades do produto C serão vendidas, e sabe-se que cada unidade do produto B fabricada gera 02 unidades do produto C. Sabe-se que: Produto A gera um lucro de $ 4 por unidade. Produto B gera um lucro de $ 10 por unidade. Produto C gera um lucro de $ 3 por unidade se for vendido. Produto C gera um custo de $ 2 por unidade se for destruído Determinar um modelo de PL para tratar este problema, e encontrar quanto produzir de cada produto, de modo a maximizar o lucro da indústria química. PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS

6 Algoritmos de otimização: NMinimize ou NMaximize no Mathematica Solução: Observe que o lucro da venda do produto A é uma função linear, mas com respeito ao produto C isto não ocorre. Artifício: considerar as variáveis de decisão como sendo X1 = quantidade produto A produzida X2 = quantidade produto B produzida X3 = quantidade produto C vendida X4 = quantidade produto C destruída Função-objetivo: Max Z = 4 X1 + 10 X2 + 3 X3 – 2 X4 PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS

7 Algoritmos de otimização: NMinimize ou NMaximize no Mathematica Solução: Observe que o lucro da venda do produto A é uma função linear, mas com respeito ao produto C isto não ocorre. Artifício: considerar as variáveis de decisão como sendo: X1 = quantidade produto A produzida; X2 = quantidade produto B produzida; X3 = quantidade produto C vendida; X4 = quantidade produto C destruída. Função-objetivo: Max Z = 4 X1 + 10 X2 + 3 X3 – 2 X4 Restrições: 2 X1 + 3 X2 ≤ 16 (disponibilidade de tempo para operação 1) 3 X1 + 4 X2 ≤ 24 (disponibilidade de tempo para operação 2) X3 + X4 = 2 X2 (produção do produto C a partir do produto B) X3 ≤ 5 (previsão de produto C que pode ser vendido) X1, X2, X3, X4 ≥ 0 (não-negatividade) PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS

8 Algoritmos de otimização: NMinimize ou NMaximize no Mathematica Considere que um reator industrial (em batelada) processe as seguintes reações: Sendo inicialmente adicionados 1 kmol/m³ de A e 0,8 kmol/m³ de B, e considerando que a cinética das reações obedeça às seguinte equações: r 1 = k 1 *a*b r 2 = k 2 *c² r 3 = k 3 *c² r 4 =k 4 *c² Considerando as constantes cinéticas em m³/(kmol*h) iguais a: k 1 =10; k 2 =1;k 3 =5 e k 4 =10. Para a otimização do processo, foi feita uma análise financeira. Nessa análise, obteve-se a seguinte relação entre custo (C) e tempo de reação (em horas) no reator: C=100*Exp(t) Por meio de uma análise de mercado, obteve-se a seguinte expressão relacionando o preço de venda (PV em reais) em função da concentração do produto de interesse (no caso C E em kmol/m 3 ) PV=1000*e Portanto o lucro, é: L=PV-C=1000*e-100*Exp(t) a) Plote as curvas C A, C B, C C, C D e C E em função do tempo (em horas) de reação até o final da Reação; b) Estime o tempo economicamente ótimo de reação e a concentração ótima de e obtida no reator; ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS

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10 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS