Unidade 2.4 JUROS COMPOSTOS SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT.

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1 Unidade 2.4 JUROS COMPOSTOS SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

2 INTRODUÇÃO Relembrando o que vimos na unidade 1 Até agora já estudamos a linguagem dos juros simples e do desconto simples. Nesta unidade iremos estudar a linguagem dos juros compostos: Juros Compostos e suas aplicações; Taxas equivalentes. Principal PV Coeficiente Montante FV X = SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

3 INTRODUÇÃO Juros Simples: Dado um principal (PV), ele deverá render juros (J) a uma taxa constante (i) por um determinado número de períodos (n), gerando um montante (FV). O juro produzido em determinado momento não rende mais juros. Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. Relembrando... SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

4 JUROS COMPOSTOS - CONCEITO Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período anterior, ou seja, os juros de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Assim sendo, no transcorrer de cada período, o que era “à priori” Montante relativo a um determinado período, passa a ser o Principal no período seguinte. É o que popularmente chamamos de Juros Sobre Juros SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

5 JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS Lembrando a fórmula de juros simples: FV = PV (1 + i * n) Vamos calcular o montante acumulado a cada período (n = 1) no regime de juros compostos S 1 = P (1 + i * n) = P (1 + i * 1)S 1 = P (1 + i) S 2 = S 1 (1 + i * n) = P (1 + i) * (1 + i * 1)S 2 = P (1 + i) 2 S 3 = S 2 (1 + i * n) = P (1 + i) 2 * (1 + i * 1)S 3 = P (1 + i) 3 S 4 = S 3 (1 + i * n) = P (1 + i) 3 * (1 + i * 1)S 4 = P (1 + i) 4 S n = P (1 + i) n SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

6 JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS FV = PV * (1+ i) n FÓRMULA DE JUROS COMPOSTOS ATENÇÃO !!! 1 - O período de capitalização deve ser compatibilizado com a taxa. 2 - A taxa é quem define o período da capitalização. Exemplo: 5% ao mês em três meses (=15,76%) é diferente de 15% ao trimestre. SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

7 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25.000,00 que rende juros compostos de 4% ao mês durante 4 meses. FV = PV * (1 + i ) n FV = 25.000 * (1 + 0,04) 4 FV = 25.000 * 1,1699 FV = 29 246,46 Resposta: No regime de juros compostos, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.246,46 Resposta: No regime de juros compostos, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.246,46 SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

8 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25.000,00 que rende juros simples de 4% ao mês durante 4 meses. FV = PV (1 + i * n) FV = 25.000 (1 + 0,04 * 4) FV = 25.000 * 1,16 FV = 29 000 Resposta: No regime de juros simples, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.000,00 Resposta: No regime de juros simples, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29.000,00 SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

9 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS CONCLUSÃO:  O mesmo capital rendeu R$ 29.246,46 na capitalização composta e R$ 29.000,00 na capitalização simples.  Os juros compostos remuneram MAIS um mesmo principal que os juros simples à mesma taxa, no mesmo período. POR QUÊ? SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

10 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

11 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

12 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

13 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

14 JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS CONCLUSÕES:  Taxas de juros baixas e/ou períodos de capitalização curtos não provocam grandes distorções entre juros simples e compostos.  Trabalhando com taxas altas e/ou longos períodos mostram grandes diferenças entre os montantes produzidos por juros simples e compostos. SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

15 PARA PENSAR Os bancos utilizam taxas de juros simples ou juros compostos nas operações de cheque especial? Por quê? SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

16 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 1 o Grupo – Dados PV, n, i, achar FV Um capital de R$ 100.000,00 estará aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao mês durante 1,5 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação. 1,5 anos = 18 meses (taxa e prazo compatibilizados) FV = PV * (1 + i) n FV = 100.000 * (1 + 0,05) 18 FV = 100.000 * 2,4066192 FV= 240.661,92 FV= 240.661,92 Resposta: O montante é de R$ 240.661,92 Resposta: O montante é de R$ 240.661,92 SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

17 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 2 o Grupo – Dados FV, n, i, achar PV A partir do montante de R$ 150.000,00, determinar o principal relativo ao empréstimo com prazo de 1 ano e taxa de juros compostos de 5% ao mês. FV = PV * (1 + i ) n 150.000 = PV * (1 + 0,05) 12 150.000 = PV * 1,7958563 PV = 150.000 / 1,7958563 = 83.525,61 Resposta: O valor do empréstimo foi de R$ 83.525,61 Resposta: O valor do empréstimo foi de R$ 83.525,61 SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

18 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 3 o Grupo – Dados FV, n, PV, achar i Conhecendo o montante R$ 172.000,00, o principal de R$ 100.000,00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal composta relativa ao empréstimo. 1 ano = 12 meses FV = PV * (1 + i ) n 172.000 = 100.000 * (1 + i) 12 172.000/100.000 = (1 + i) 12 1,72 = (1 + i) 12 E agora? Como resolver? SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

19 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Vamos lembrar da seguinte propriedade: (x a ) b = x a.b Então aplicando a propriedade na equação... 1,72 = (1 + i) 12 1,72 1 / 12 = [(1 + i) 12 ] 1/12 1,72 1 / 12 = (1 + i) 12 * 1 / 12 1,72 1 / 12 = (1 + i) 1 1,0462 = 1 + i i = 1,0462 - 1 => i = 0,0462 Resposta: A taxa de juros do empréstimo é de 4,62% a.m. Resposta: A taxa de juros do empréstimo é de 4,62% a.m. SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

20 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 4 o Grupo – Dados FV, PV, i, achar n Conhecendo o montante de R$ 368.000,00, o principal de R$ 200.000,00 e a taxa de juros compostos de 7% ao mês, determinar o prazo do empréstimo. FV = PV * (1 + i ) n 368.000 = 200.000 * (1 + 0,07) n 368.000 / 200.000 = (1 + 0,07) n 1,84 = (1,07) n E agora? Como resolver? SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

21 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Vamos lembrar da seguinte propriedade: Log(x) a = a * Log x Então aplicando a propriedade na equação... 1,84 = (1,07) n Log (1,84) = Log(1,07) n Log (1,84) = n * Log (1,07) n = Log (1,84) / Log (1,07) n = 0,2648 / 0,0294 n = 9,01 Resposta: O prazo do empréstimo é de 9,01 meses. Resposta: O prazo do empréstimo é de 9,01 meses. SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

22 Valor de compra Exercícios Práticos do Mercado Financeiro Uma corretora de valores comprou um título de valor de resgate de R$ 148.000,00, prazo de 8 meses e taxa mensal composta de 5,5%. Passados dois meses, vendeu o título para um investidor na taxa composta de 3,8% a.m.. Determinar a taxa alavancada obtida pela corretora. 148.000 i Valor de venda 2 meses 6 meses 3,8% 8 meses – 5,5% Corretora Investidor SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

23 Valor de compra FV = PV * (1 + i ) n 148.000 = PV * (1 + 0,055) 8 148.000 = PV * 1,055 8 PV = 148.000 / 1,5347 PV = 96.436,63 Valor de Venda FV = PV * (1 + i ) n 148.000 = PV * (1 + 0,038) 6 148.000 = PV * 1,038 6 PV = 148.000 / 1,2508 PV = 118.325,29 Exercícios Práticos do Mercado Financeiro Valor de compra i 6 meses 3,8% 148.000 Valor de venda 2 meses 8 meses – 5,5% 96.436,63 118.325,29 SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

24 Taxa da corretora FV = PV * (1 + i ) n 118.325,29 = 96.436,63 * (1 + i) 2 118.325,29 / 96.436,63 = (1 + i) 2 1,2270 = (1 + i) 2 1,2270 1/2 = (1 + i) i = 1,1077 - 1 = > i = 0,1077 = 10,77% a.m. Exercícios Práticos do Mercado Financeiro i 6 meses 3,8 % 148.000 2 meses 8 meses – 5,5% 96.436,63 118.325,29 10,77 % SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

25 Como se Ganha Dinheiro no Mercado Financeiro Preço pago na compra FV = PV * ( 1 + i ) n 148.000 = PV * (1 + 0,062) 8 PV = 148.000/ 1,6181 = 91.467,24 Preço pago na Venda FV = PV * ( 1 + i ) n 148.000 = PV * (1 + 0,035) 8 PV = 148.000/ 1,3168 = 112.392,91 Lucro = Preço de Venda – Preço de compra Lucro = 112.392,91 – 91.467,24 => Lucro = R$ 20.925,67 SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT Uma corretora de valores comprou e vendeu, no mesmo dia, um título de valor de resgate de R$ 148.000 e prazo de 8 meses. Comprou por uma taxa de juros composta de 6,2% ao mês e vendeu por uma taxa composta de 3,5% ao mês. Determinar o lucro obtido nessa negociação.

26 TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate Aplicação inicial: R$ 100.000,00 Prazo total: 12 meses Taxa composta: 4% ao mês 1º Comprador: 3,3% ao mês em 2 meses 2º Comprador: 3,4% ao mês em 3 meses 3º Comprador: i % ao mês em 5 meses (calcular a taxa) 4º Comprador: 3,2% ao mês em 2 meses 100.000 Valor de resgate 3,30% 2 meses 12 meses – 4% 3 meses 3,40% 5 meses i % 2 meses 3,20% Valores de revenda SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

27 TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate 100.000 3,30% Valor de resgate 2 meses 5 meses i % 12 meses – 4% 3 meses 3,40% 2 meses 3,20% Valor de resgate FV = PV * (1 + i ) n FV = 100.000 * (1 + 0,04) 12 FV = 100.000 * 1,04 12 FV = 100.000 * 1,601032 FV = 160.103,22 160.103,22 SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

28 TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate 100.000 3,30% 160.103,22 2 meses 5 meses i % 12 meses – 4% 3 meses 3,40% 2 meses 3,20% 1 o Comprador FV = PV * (1 + i ) n FV = 100.000 * (1 + 0,033) 2 FV = 100.000 * 1,033 2 FV = 100.000 * 1,067089 FV = 106.708,90 106.708,90 2 o Comprador FV = PV * (1 + i ) n FV = 106.708,90 * (1 + 0,034) 3 FV = 106.708,90 * 1,034 3 FV = 106.708,90 * 1,105507 FV = 117.967,47 117.967,47 SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT

29 TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate 100.000 3,30 % 160.103,22 2 meses 5 meses i % 12 meses – 4 % 3 meses 3,40 % 2 meses 3,20 % 4 o Comprador FV = PV * (1 + i ) n 160.103,22 = PV * (1+ 0,032) 2 160.103,22 = PV * 1,032 2 PV = 160.103,22 / 1,0650 PV = 150.328,27 106.708,90 3 o Comprador - taxa FV = PV * (1 + i ) n 150.328,27 = 117.967,47 * (1+ i ) 5 1,2743 = (1 + i) 5 1,2743 1/5 = (1 + i) i = 1,0497 - 1 i = 0,0497 = 4,97% 117.967,47150.328,27 i = 4,97% SERGIOMELEGA.WIX.COM/FISICAEMAT