MATEMÁTICA FINANCEIRA

Apresentação em tema: "MATEMÁTICA FINANCEIRA"— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA FINANCEIRA

2 Conceitos iniciais Contextualização:
O valor do dinheiro no tempo é a linguagem da matemática financeira. Sabemos que é melhor termos uma determinada quantia ou crédito hoje do que em, digamos, 3 anos. Receber uma quantia hoje ou no futuro não é a mesma coisa. Pode-se utilizar o dinheiro agora (consumir), ou aplicá-lo e adiar seu consumo.

3 Conceitos iniciais Qual o objetivo principal da matemática financeira?
A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo. Busca verificar e efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de caixa, verificados em diferentes momentos.

4 Conceitos iniciais Conceito de juros:
Juros é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo, a uma taxa combinada. Para o investidor é a remuneração da aplicação e para o tomador é o custo do capital tomado emprestado. O prêmio para quem poupa é o juro.

5 CAPITAL Em matemática financeira, entende-se por capital (ou principal), qualquer valor expresso em moeda e disponível em certa época. É representado pela letra “C”. Exemplo 1: aplicação de R$ 1.000,00 no banco. Exemplo 2: empréstimo no banco de R$ 2.000,00. Aula 1 – Juros Conceito: Juros é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo, a uma taxa combinada. Para o investidor é a remuneração da aplicação e para o tomador é o custo do capital tomado emprestado.

6 Conceitos iniciais Conceito de juros:
Juros é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo, a uma taxa combinada. Para o investidor é a remuneração da aplicação e para o tomador é o custo do capital tomado emprestado.

7 TEMPO É o período em que o capital ficará recebendo ou pagando juros. É representado pela letra “n”. Exemplo 1: o capital aplicado ficará rendendo no banco durante três meses. Exemplo 2: o capital tomado emprestado ficará pagando juros no banco durante quatro meses. Aula 1 – Juros Conceito: Juros é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo, a uma taxa combinada. Para o investidor é a remuneração da aplicação e para o tomador é o custo do capital tomado emprestado.

8 Conceitos iniciais Conceito de juros:
Juros é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo, a uma taxa combinada. Para o investidor é a remuneração da aplicação e para o tomador é o custo do capital tomado emprestado.

9 TAXA É o valor do juro numa unidade de tempo (dia, mês, semestre, ano, etc.) expresso como porcentagem do capital. É representado pela letra “i”. Exemplo 1: o banco está pagando 1% ao mês para o capital aplicado. Exemplo 2: o banco cobra 3% ao mês para o capital emprestado. Aula 1 – Juros Conceito: Juros é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo, a uma taxa combinada. Para o investidor é a remuneração da aplicação e para o tomador é o custo do capital tomado emprestado.

10 Fatores que influenciam a formação da taxa de juros:
Custo de captação - taxa paga aos investidores + rateio de despesas adm; Margem de lucro - taxa para remunerar o capital investido; Taxa de risco - é a inadiplencia que é calculada pela relação entre volume de empréstimos não honrados e volume total de empréstimos concedidos; Inflação - taxa embutida para compensar a perda de poder aquisitivo da Moeda; Impostos - pagos por todos. Aula 1 – Juros Conceito: Juros é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo, a uma taxa combinada. Para o investidor é a remuneração da aplicação e para o tomador é o custo do capital emprestado para um tomador.

11 Relação entre taxa percentual e taxa unitária:
Conceitos iniciais Taxa de juros: Relação entre taxa percentual e taxa unitária: Taxa percentual Divide-se por 100 Taxa unitária 5% : 100 0,05 Taxa unitária Multiplica-se por 100 Taxa percentual 0,05 x 100 5%

12 Conceitos iniciais Nas fórmulas que serão apresentadas na
seqüência dos trabalhos, todos os cálculos serão efetuados utilizando-se a taxa na forma unitária de juros. Taxa de juros: Relação entre taxa percentual e taxa unitária: Taxa percentual Divide-se por 100 Taxa unitária 5% : 100 0,05 Taxa unitária Multiplica-se por 100 Taxa percentual 0,05 x 100 5%

13 Conceitos iniciais Tempo e taxa:
Nas fórmulas, tanto o prazo da operação, como a taxa de juros, devem ser necessariamente expressos na mesma unidade de tempo. Exemplo: tempo em meses, taxa em mês. Tempo em ano, taxa em ano.

14 Regime de capitalização
Entende-se por regime de capitalização o processo de formação de juro. Há dois tipos de regime de capitalização: Regime de capitalização a juros simples. Regime de capitalização a juros compostos.

15 Regime de capitalização
Juros simples Em cada período os juros incidem somente sobre o capital inicial. O juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital para render juro no período seguinte. Dizemos que os juros não são capitalizados.

16 Regime de capitalização
Juros compostos O juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início desse período, passando o montante a render juro no período seguinte. Dizemos que os juros são capitalizados, isto é, são os juros sobre juros.

17 Juro simples Juros simples
Exemplo: Aplicou-se no banco R$ 2.200,00. A taxa que o banco paga é 1,2% ao mês. O tempo da aplicação é de três meses. Mês Saldo inicial Taxa de juros Juros Capital + juros 1 2.200,00 0,012 26,40 2.226,40 2 2.252,80 3 2.279,20

18 Observe-se que os juros são sempre iguais, período após período.
Juros simples Observe-se que os juros são sempre iguais, período após período. Por que? Juros simples Exemplo: Aplicou-se no banco R$ 2.200,00. A taxa que o banco paga é 1,2% ao mês. O tempo da aplicação é de três meses. Mês Saldo inicial Taxa de juros Juros Capital + juros 1 2.200,00 0,012 26,40 2.226,40 2 2.252,80 3 2.279,20

19 Juros simples J = C . i . n

20 J = Juros C = Capital i = Taxa n = Tempo Juros simples J = C . i . n

21 Juros simples Variações da fórmula básica J = C.i.n

22 Calcule o juro utilizando a fórmula.
Juros simples Exercício Aplicou-se no banco $2.200,00. A taxa que o banco paga é 1,2% ao mês. O tempo da aplicação é de três meses. Calcule o juro utilizando a fórmula.

23 Juros simples Exemplo:
Aplicou-se no banco $2.200,00. A taxa que o banco paga é 1,2% ao mês. O tempo da aplicação é de três meses. Solução aplicando-se a fórmula dos juros simples: J = C.i.n J = 2.200,00 . 0, J = $79,20 Somando-se o capital mais os juros teremos $2.279,20. C + J = $2.279,20 (montante)

24 Observe-se a utilização da taxa na forma unitária.
Juros simples Observe-se a utilização da taxa na forma unitária. Solução Exemplo: Aplicou-se no banco R$ 2.200,00. A taxa que o banco paga é 1,2% ao mês. O tempo da aplicação é de três meses. Solução aplicando-se a fórmula dos juros simples: J = C.i.n J = 2.200,00 . 0, J = $79,20 Somando-se o capital mais os juros teremos $2.279,20. C + J = $2.279,20 (montante)

25 Montante é a soma do capital mais juros. A fórmula do montante é:
Juros simples Montante: Montante é a soma do capital mais juros. M = C + J A fórmula do montante é: M = C(1 + i.n)

26 Juros simples Montante: Montante é a soma do capital mais juros.
Exercício Aplicou-se no banco $2.200,00. A taxa que o banco paga é 1,2% ao mês. O tempo da aplicação é de três meses. Calcule o montante utilizando a fórmula dada (de montante). Montante: Montante é a soma do capital mais juros. M = C + J A fórmula do montante é: M = C(1 + i.n)

27 Montante é a soma do capital mais juros. A fórmula do montante é:
Exemplo: Aplicou-se no banco $2.200,00. A taxa que o banco paga é 1,2% ao mês. O tempo da aplicação é de três meses. Solução aplicando-se a fórmula dos juros simples: J = C.i.n J = 2.200,00 . 0, J = $79,20 Solução aplicando a fórmula do montante: M = C (1+i.n) M = 2.200,00 (1+0, ) M = C + J M = 2.200,00 (1,04) M = 2.200, ,20 M = $2.279, M = $2.279,20 Juros simples Montante: Montante é a soma do capital mais juros. M = C + J A fórmula do montante é: M = C(1 + i.n)

28 Juros simples Check list:
Sempre que você for solucionar problemas financeiros deve observar: Taxa e prazo na mesma unidade de tempo. Taxa deve estar na forma unitária. Verificar se o resultado está compatível com os dados do problema.

29 Taxa proporcional Taxa proporcional
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao período n2) se:

30 Taxa proporcional Exemplo 1:
Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a n1 = 3 meses n2 = 12 meses Como: Substituindo-se os valores: que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, as taxas dadas são proporcionais.

31 Taxa proporcional Exercício
Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal.

32 Taxa proporcional Exercício: Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal. Resolução: Temos: i1 = 24% a.a. = 0,24 a.a. n1 = 12 meses i2 = ? n2 = 1 mês E, como: tem-se: 0,24 x 1 = i2 x 12 ou i = 2% a.m.

33 Taxa equivalente Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital; • pelo mesmo intervalo de tempo. => Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes.

34 Taxa equivalente Exemplo: Seja um capital de $ ,00 que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de: J1 = ,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00 Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 a- nos, teremos um juro igual a: J2 = ,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00 Constatamos que o juro gerado é igual nas duas hipóteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.

35 Juro exato Juro exato é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano civil.

36 Juro exato Exercício Qual é o juro exato de um capital de $ ,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ?

37 Juro exato Resolução: Exercício
Qual é o juro exato de um capital de $ ,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ? Resolução:

38 Juro comercial Juro comercial é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias. • é adotada a convenção do ano comercial:

39 Juro comercial Exercício
Qual é o juro exato de um capital de $ ,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ?

40 Juro comercial Resolução: Exercício
Qual é o juro exato de um capital de $ ,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ? Resolução: Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comercial é maior que o juro exato.

41 Diagramas de capital no tempo
• Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de dinheiro. Representam o fluxo de dinheiro no tempo. 2000 500 Entradas (+) (PERÍODOS) 1 2 Saídas (-) 1000

42 Diagramas de capital no tempo
No eixo horizontal tem-se o período de tempo (dia, mês, trimestre, ano, etc.). A seta para cima indica recebimento ou entrada de caixa. A seta para baixo indica desembolso ou saída de caixa e a data zero marca o início da contagem Diagramas de capital no tempo • Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de dinheiro. Representam o fluxo de dinheiro no tempo. 2000 500 Entradas (+) (PERÍODOS) 1 2 Saídas (-) 1000

43 Diagramas de capital no tempo
Exercício fluxo de caixa: O preço à vista de uma bicicleta na loja é $1.500,00. A prazo a loja vende em três vezes com prestações de $500,00 em 30, 60 e 90 dias. Elabore o diagrama de fluxo de caixa para a loja e para o cliente.

44 Diagramas de capital no tempo
Fluxo de caixa: Exemplo: O preço à vista de uma bicicleta na loja é R$ 1.500,00. A prazo a loja vende em três vezes com prestações de R$ 500,00 em 30, 60 e 90 dias. LOJA CLIENTE 500,00 500,00 500,00 1.500,00 (meses) 1 (meses) 2 3 1 2 3 500,00 500,00 500,00 1.500,00

45 Valor nominal É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento.
Exemplo: Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por $20.000,00 daqui a 12 meses. 20.000 (meses) 12 $20.000,00 é o valor nominal da aplicação no mês 12.

46 Valor atual É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. Exemplo: Uma pessoa vai receber $20.000,00 daqui a 12 meses. Qual o valor na data 6 meses? 20.000 c (meses) 6 12 ¨c¨ é o valor atual da aplicação de $20.000,00 na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa de juros.

47 Valor futuro Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento. Exemplo: Uma pessoa possui $10.000,00 hoje. Quanto possuirá na data 6 meses? c 10.000 (meses) 6 ¨c¨é o valor futuro de na data 6 meses. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa de juros.

48 Exercícios 1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $24.000,00 no mês 12. Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $15.000,00. Calcule a taxa de juros simples utilizada na aplicação.

49 Exercícios 24.000 = 15.000 (1+ i.12) Resolução: Nestas condições:
Dividindo os dois lados da igualdade por , a mesma não se altera: Resolução: N = C (1+in) N = ,00 C = ,00 i = ? n = 12 meses Nestas condições: Logo: 1,6 = 1 + i.12 Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se altera: 1,6 -1 = i.12 0,6 = i.12 0,6/12 = i 0,05 = i i = 5% ao mês

50 Exercícios b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas que conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste caso calcule o valor atual hoje (na data 0), que corresponde ao próprio valor aplicado:

51 Exercícios N = C (1 + i.n) Onde: N = 24.000,00 C = ?
i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa deve ser colocada na forma unitária) n = 12 meses Então: = C (1 + 0,06 x 12) = C (1 + 0,72) = C.1,72 24.000/1,72 = C C = ,49 Ou seja: é o valor atual na data 0, isto é, quanto a pessoa aplicou hoje.

52 Exercícios 3) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $10.000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% ao mês, daqui a 3 meses ?

53 Exercícios Temos: N = C (1 + i.n) Onde: N = ? C = 10.000,00 i = 0,05
n = 3 meses Logo: N = (1 + 0,05 x 3) N = (1,15) N = ,00 O valor futuro será de $ ,00 daqui a 3 meses.