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Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 3ª Edição.

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1 Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 3ª Edição

2 Capítulo 1 JUROS SIMPLES

3 Juro e Consumo Existe juro porque os recursos são escassos. As pessoas têm preferência temporal: preferem consumir a poupar. O prêmio para quem poupa é o juro.

4 Juro e Capital O Capital também é escasso. O Juro é a remuneração pelo uso do capital. O Juro é a remuneração pelo custo do crédito.

5 Taxa de Juros Juro e tempo andam juntos. O juro é determinado através de um coefi- ciente referido a um dado intervalo de tem- po. O coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. Ex.: 12 % ao ano.

6 Taxa de Juros FORMA PORCENTUAL Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital. Ex.: 12% ao ano. FORMA UNITÁRIA Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do capital. Ex.: 0,12 ao ano.

7 CÁLCULO DO JURO - Ao valor aplicado; - Ao tempo de aplicação. - Ao valor aplicado; - Ao tempo de aplicação. JURO SIMPLES A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional:

8 CÁLCULO DO JURO FÓRMULA BÁSICA: J = C. i. n onde: J = Juro C = Capital inicial (Principal) i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa) EXEMPLO

9 Exemplo Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos (n) = 2 anos Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, te- mos o juro do primeiro ano como sendo: J 1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00 No segundo ano, teremos: J 2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00

10 O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano (J 1 ) mais o juro devido no segundo ano (J 2 ) J = J 1 + J 2 J = 100, ,00 = $ 200,00 Ou então, podemos resolver o problema diretamente: J = 1.000,00 X 0,10 X ,00 X 0,10 X 1 J = 1.000,00 X 0,10 X 2 J = $ 200,00 Exemplo

11 CÁLCULO DO JURO JURO SIMPLES Variações da fórmula básica. J = C.i.n

12 MONTANTE JURO SIMPLES Montante é a soma do juro mais o capital aplicado. N = C + J onde: C= principal n= prazo de aplicação i = taxa de juros N = C(1 + in) EXEMPLO

13 Exemplo Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Número de períodos (n) = 2 anos E sendo: N = C(1+in) Substituindo-se os valores, tem-se: N = 1.000(1+0,10 x 2) N = 1.000(1+0,20) N = x 1,20 N = $ 1.200,00

14 Exemplo É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por montante: a) Calculando o juro devido: J = Cin J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $200,00 b) Somando-se o juro com o principal: N = C + J N = 1.000, ,00 = $1.200,00

15 MONTANTE N = C(1 + in) JURO SIMPLES

16 TAXA PROPORCIONAL JURO SIMPLES A taxa i 1 (referida ao período n 1 ) é proporcional à taxa i 2 (referida ao período n 2 ) se: i 1.n 2 = i 2.n 1 Ou, do mesmo modo, se: Ou ainda: EXEMPLO

17 Exemplo Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. Resolução: Temos: i 1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. i 2 = 20% a.a. = 0,20 a.a. n 1 = 3 meses n 2 = 12 meses Como: Substituindo-se os valores: que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, as taxas dadas são proporcionais.

18 Exemplo Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal. Resolução: Temos: i 1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. n 1 = 12 meses i 2 = ? n 2 = 1 mês E, como: tem-se: 0,24 x 1 = i 2 x 12ou i = 2% a.m.

19 TAXA EQUIVALENTE Duas taxas de juros são equivalentes se: aplicadas ao mesmo capital; pelo mesmo intervalo de tempo. => Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes. EXEMPLO

20 Exemplo Seja um capital de $ ,00 que pode ser aplicado alternativa- mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de: J 1 = ,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00 Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 a- nos, teremos um juro igual a: J 2 = ,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00 Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hi- póteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.

21 PERÍODOS NÃO-INTEIROS Quando o prazo de aplicação não é um número in- teiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o seguinte: I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de pe- ríodos. II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente. O juro total é a soma do juro referente à parte in- teira com o juro da parte fracionária. EXEMPLO

22 Exemplo Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ? Resolução: Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem: 5 x 2 semestres = 10 semestres 9 meses = 1 semestre e 3 meses Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3 meses. a) Cálculo do juro: 1ª etapa: J 1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00

23 Exemplo 2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre: Portanto: J 2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00 Logo, o total de juros é: J = J 1 + J 2 J = 1.320, ,00 J = =$ 1.320,00 ====== CORRIGIR Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembran- do-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições, 5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:

24 Exemplo J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00 b) Montante: O montante é: N = C + J N = 1.000, ,00 N = $ 2.380,00 Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado ra- ciocinando por etapas para obter o montante.

25 JURO EXATO Juro Exato é aquele em que: o período a que se refere a taxa está expresso em dias. é adotada a convenção do ano civil. EXEMPLO

26 Exemplo Qual é o juro exato de um capital de $ ,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ? Resolução:

27 JURO COMERCIAL Juro comercial é aquele em que: o período a que se refere a taxa está expresso em dias. é adotada a convenção do ano comercial: EXEMPLO

28 Exemplo Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an- terior. Resolução: Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer- cial é maior que o juro exato.

29 DIAGRAMAS DE CAPITAL NO TEMPO Representam o fluxo de dinheiro no tempo; Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de di- nheiro; Graficamente: (PERÍODOS) Entradas (+) Saídas (-)

30 VALOR NOMINAL É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Exemplo: Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por daqui a 12 me- ses é o valor nominal da aplicação no mês (meses)

31 VALOR ATUAL É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento c ¨c¨ é o valor atual da aplicação de , na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa de juros. (meses)

32 VALOR FUTURO Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento. Exemplo: Uma pessoa possui hoje c (meses) ¨c¨é o valor futuro de na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa de juros. EXEMPLO

33 Exemplo 1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $ ,00 no mês 12. a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ ,00. Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica- ção, do seguinte modo: Resolução: N = C (1+in) N = ,00 C = ,00 i = ? n = 12 meses

34 Exemplo Nestas condições: = (1+ i.12) Dividindo os dois lados da igualdade por , a mesma não se altera: Logo: 1,6 = 1 + i.12 Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se altera: 1,6 -1 = i.12 0,6 = i.12

35 Exemplo E dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te- mos: Logo: i = 0,05 Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o mês, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de tem- po. Ou seja: i = 0,05 ao mês Ou, o que dá no mesmo: i = 5% ao mês.

36 Exemplo b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas que conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon- de ao próprio valor aplicado: N = C (1 + i.n) Onde: N = ,00 C = ? i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa deve ser colocada na forma unitária) n = 12 meses Então: = C (1 + 0,06 x 12) = C (1 + 0,72) = C.1,72

37 Exemplo Ou seja: C = ,49 que é o valor atual na data 0, isto é, quanto a pessoa aplicou hoje. Logo:

38 Exemplo 2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ ,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% ao mês, daqui a 3 meses ? Temos: N = C (1 + i.n) Onde: N = ? C = ,00 i = 0,05 n = 3 meses Logo: N = (1 + 0,05 x 3) N = (1,15) N = ,00 O valor futuro será de $ ,00 daqui a 3 meses.


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