Análise de Investimentos

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1 Análise de Investimentos
Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento 2.009

2 Lucro e medida por meio de porcentagem
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Lucro e medida por meio de porcentagem A matemática financeira utilizada na análise de viabilidade econômica de projetos, também conhecida por engenharia econômica ou, simplesmente, de cálculo de finanças. A porcentagem (ou percentagem) é considerada como uma “unidade” do sistema financeiro, uma medida universal, um padrão de medidas no mundo dos negócios e, principalmente, do lucro empresarial. Matematicamente, é representada por uma razão especial cujo conseqüente é igual a 100, ou seja, é o resultado da comparação de uma parte com o todo. 2.009

3 Lucro e medida por meio de porcentagem
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Lucro e medida por meio de porcentagem O lucro expresso em forma de porcentagem passa a representar um resultado final a ser passível de comparações com n grandezas de uma empresa ou também com outros percentuais de nossa economia. Taxas do mercado empresarial: IGP do mês, IPC/FIPE do mês, Inflação do ano, Taxa FIF de curto prazo, TJLP, Poupança, Taxa do mercado futuro, Juros do CDB, juros do CDI etc. 2.009

4 Lucro e medida por meio de porcentagem
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Lucro e medida por meio de porcentagem No mundo dos negócios, principalmente nos assuntos financeiros, podemos cometer alguns erros, é necessário analisar algumas situações especiais: Uma venda com lucro: Preço de Venda $ 1.000 Custo da Venda $ (700) Lucro $ 300 Se quisermos representar o lucro de $ 300 em forma de porcentagem: Lucro sobre o preço de venda = $ 300 / $ = 30,00% Lucro sobre o preço de custo = $ 300 / $ = 42,86% 2.009

5 Lucro e medida por meio de porcentagem
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Lucro e medida por meio de porcentagem Nesta situação, podem existir pelo menos duas taxas que representam a mesma situação: Uma calculada POR DENTRO sobre uma base menor e, portanto, apresentando um percentual MAIOR. Lucro sobre o preço de custo = $ 300 / $ = 42,86% A outra calculada POR FORA sobre uma base maior e, portanto, apresentando um percentual MENOR. Lucro sobre o preço de venda = $ 300 / $ = 30,00% 2.009

6 Lucro e medida por meio de porcentagem
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Lucro e medida por meio de porcentagem $ 1.000 $ 700 $ 300 42,86% (TD) 30% (TF) Onde: TD = Taxa POR DENTRO TF = Taxa POR FORA 2.009

7 10% (antecipada) $ 1.000 x 10% x 3 = $ 300 $ 1.000 $ 700
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Lucro e medida por meio de porcentagem Um exemplo de uma transação financeira que opera com Juros Simples é o desconto. Um desconto de duplicata no valor de $ 1.000, a uma taxa de 10% ao mês, por três meses: Taxa Nominal de Desconto Juros cobrados Taxa Efetiva 10% (antecipada) $ x 10% x 3 = $ 300 $ 1.000 $ 700 1 3 x 2.009

8 Lucro e medida por meio de porcentagem
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Lucro e medida por meio de porcentagem Portanto, essa taxa de 10% ao período, nessa operação de desconto representa, na realidade, um custo efetivo (ou uma taxa efetiva) de 12,62% ao mês, ou 316% ao ano. Usando o mesmo exemplo, suponhamos que, com base em uma taxa efetiva de 10% ao período, queiramos descobrir qual a taxa nominal (desconto) para aquela determinada operação de desconto: $ 1.000 $ 700 1 3 x 2.009

9 Lucro e medida por meio de porcentagem
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Lucro e medida por meio de porcentagem TND = ( 1 + i ) ( 1 + i ) n n x n Onde: TND = Taxa Nominal de Desconto ao período (antecipada) i = Taxa Efetiva ao período n = número de períodos TND = ( 1 + 0,1 ) ( 1 + 0,1 ) 3 = 8,29% x 3 Ou seja, para uma taxa efetiva de 10% ao mês, numa operação de desconto para três meses, a taxa nominal de desconto deveria ser 8,29%, e não 10% ao período anunciado. 2.009

10 Conceito de Taxa de Juros
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Conceito de Taxa de Juros A unidade de medida de juros é chamada de taxa de juros ou simplesmente taxa. A taxa corresponde à remuneração paga pelo uso, durante determinado período de tempo. As taxas de juros devem ser eficientes para remunerar: o risco envolvido na operação; a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação; a remuneração do capital, como forma de compensar sua privação por determinado período de tempo. 2.009

11 Conceito de Correção Monetária
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Conceito de Correção Monetária Os índices de correção monetária são calculados de acordo com a taxa oficial de inflação, tendo por objetivo compensar a desvalorização da moeda. Consiste na aplicação de um índice oficial para o reajustamento periódico do valor nominal de: - títulos da dívida pública e privados (depósitos a prazo fixo, poupança) - ativos financeiros institucionais (FGTS, PIS,...) - créditos fiscais e ativos patrimoniais das empresas 2.009

12 Equivalência de Símbolos
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Equivalência de Símbolos Equivalência de Símbolos C (Capital) PV (Present Value) Valor Presente M (Montante) FV (Future Value) Valor Futuro i (taxa) i (interest) Taxa de Juros t (tempo) n (number of periods) Número de Períodos P (Prestação) PMT (Payment) Pagamento, Parcela 2.009

13 p.p. = pelo período de ....... dias
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Períodos a.d. = ao dia a.m. = ao mês a.b. = ao bimestre a.t. = ao trimestre a.s. = ao semestre a.a. = ao ano p.p. = pelo período de dias 2.009

14 Teclas mais utilizadas
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Teclas mais utilizadas CHS Multiplico o valor do Visor por -1 De 0 a 9 armazeno informações. STO f CLX Apaga valores armazenados g CLX Recupero informações armazenadas em STO de 0 a 9. RCL n Número de períodos 1/x Divide 1 por qualquer número que estiver no Visor. i Taxa de Juros PV Valor Presente Eleva qualquer número digitado anteriormente (y) pelo último número digitado (x) y x PMT Pagamento, Parcela, Prestação FV Valor Futuro 2.009

15 Análise de Investimentos
Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Juros Simples Quando a taxa de juros incide sempre sobre o Capital Inicial. J = C i n J = Valor dos Juros C = Capital i = Taxa de juros n = Prazo Onde: Valor dos Juros = Capital x Taxa de Juros x Prazo Considerando uma taxa de juros de 10% a.m. Período Capital Juros Total 1 1.000,00 100,00 1.100,00 2 1.200,00 3 1.300,00 4 1.400,00 5 1.500,00 1.000,00 10% 100,00 x 5 500,00 OU 2.009

16 Análise de Investimentos
Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Juros Simples J = C i n n.º C n i J 1 10.000,00 5 meses 10% a.m. 2 90 dias 5% a.d. 3 1 trimestre 25% a.t. 4 1 ano 2% a.d. 5 6 meses 7% a.m. 6 180 dias 0,3% a.d. 7 3 bimestres 1% a.b. 8 4 meses 22% a.m. 9 10 meses 6% a.m. 10 25 dias 12% a.a. Para aplicar na fórmula a Taxa de Juros sempre deve estar na forma de coeficiente (dividir por 100) 2.009

17 Montante = Capital x 1 + ( Taxa de Juros x Prazo )
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Juros Simples - Montante M = C J Onde: M = Montante C = Capital i = Taxa de juros n = Prazo M = C ( C i n ) M = C ( i n ) Montante = Capital x ( Taxa de Juros x Prazo ) 2.009 Para aplicar na fórmula a Taxa de Juros sempre deve estar na forma de coeficiente (dividir por 100)

18 Montante = Capital x 1 + ( Taxa de Juros x Prazo )
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Juros Simples - Montante Montante = Capital x ( Taxa de Juros x Prazo ) Montante = ,00 x [ ( 0,3 x ) ] Considerando: C = ,00 i = 30% a.m. n = dias M = ? Montante = ,00 x [ ( 0,3 ) ] Montante = ,00 x [ 1,3 ] Montante = ,00 2.009 Para aplicar na fórmula a Taxa de Juros sempre deve estar na forma de coeficiente (dividir por 100)

19 Juros Simples – Determinação da Taxa de Juros
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Juros Simples – Determinação da Taxa de Juros Se: J = C i n Onde: J = Valor dos Juros C = Capital i = Taxa de juros n = Prazo Então: i = J x 100 C n Taxa de Juros = Valor dos Juros x 100 Capital x Prazo 2.009 Para aplicar na fórmula a Taxa de Juros sempre deve estar na forma de coeficiente (dividir por 100)

20 Juros Simples – Determinação da Taxa de Juros
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Juros Simples – Determinação da Taxa de Juros i = J x 100 C n Considerando: C = ,00 J = ,00 n = dias i = ? i = 40.000,00 x 100 ,00 x 3 90 dias / 30 dias = 3 meses % a.m. i = 40.000,00 x 100 ,00 i = 0, x 100 i = 13,33 % a.m. 2.009

21 Juros Simples – Determinação da Taxa de Juros
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Juros Simples – Determinação da Taxa de Juros i = J x 100 C n n.º C n i J 1 10.000,00 5 meses % a.m. 4.000,00 2 90 dias % a.d. 15.030,00 3 1 trimestre % a.t. 1.500,00 4 1 ano 8.280,00 5 6 meses 2.100,00 6 180 dias 4.500,00 7 3 bimestres % a.b. 501,00 8 4 meses 7.000,00 9 10 meses 9.000,00 10 25 dias % a.a. 100,00 2.009

22 Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Os Juros Simples na verdade não existem. É um artifício matemático para simplificar os cálculos de juros. Porém, sempre é considerada a sistemática de juros compostos. Exemplo: Aplicação Financeira C.D.B. (Renda Fixa) Valor Aplicado : Valor Resgatado : Juros Ganho em 1 ano ( R$) : Juros Ganho em 1 ano ( % ) : = 210,22% a.a. Ganho Mensal ( % ) : 12 meses 17,52% a.m. A verdadeira remuneração da Renda Fixa 9,89% 2.009

23 Taxas Equivalentes Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Taxas Equivalentes Duas taxas serão equivalentes em Juros Compostos, se quando aplicadas sobre um mesmo Capital, num mesmo prazo, produzirem um mesmo Montante. PV n i ik FV i = taxa anual ik = taxa equivalente a i k = número de períodos por ano FVi = FVik taxas equivalentes 2.009

24 Taxas Equivalentes dia ano
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Taxas Equivalentes Quero saber i a tendo i k i a = ( i k ) k - 1 x 100 Uso : Quando o período (n) da taxa conhecida for inferior ao período da taxa desejada. dia ano 2.009

25 Taxas Equivalentes dia ano
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Taxas Equivalentes Quero saber i a tendo i k i a = ( i k ) k - 1 x 100 Uso : Quando o período (n) da taxa conhecida for inferior ao período da taxa desejada. dia ano Exemplos : 0,5 % a.d. 502,26 % a.a. Qual a taxa anual equivalente a : 8,0 % a.m. 151,82 % a.a. 16 % a.b. 143,64 % a.a. 24 % a.t. 136,42 % a.a. 2.009

26 Taxas Equivalentes dia ano
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Taxas Equivalentes Quero saber i a tendo i k i a = ( i k ) k - 1 x 100 Uso : Quando o período (n) da taxa conhecida for inferior ao período da taxa desejada. dia ano Teclas Visor 0,5 ENTER 0,5 Qual a taxa anual equivalente a : 100 : 0,005 0,5 % a.d. 502,26 % a.a. 1 + 1,005 360 y x 6,02257 1 - 5,02257 100 x 502,26 2.009

27 Taxas Equivalentes i k = ( 1 + i a ) k - 1 ano dia
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Taxas Equivalentes Quero saber i k tendo i a i k = ( i a ) k 1 x 100 Uso : Quando o período (n) da taxa conhecida for superior ao período da taxa desejada. ano dia 2.009

28 Taxas Equivalentes i k = ( 1 + i a ) k - 1 ano dia
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Taxas Equivalentes Quero saber i k tendo i a i k = ( i a ) k 1 x 100 Uso : Quando o período (n) da taxa conhecida for superior ao período da taxa desejada. Teclas Visor ano dia 502,26 ENTER 502,26 100 : 5,0226 1 + Qual a taxa diária equivalente a : 6,0226 360 1/x y x 1,00500 502,26 % a.a. 0,5 % a.d. 1 - 0,00500 100 x 0,5 2.009

29 Qual a Taxa Equivalente a 815 % a.a. :
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Taxas Equivalentes 1) Qual a Taxa Equivalente a 815 % a.a. : mensal = % a.m. bimestral = % a.b. trimestral = % a.t. em 100 dias = % p.p. diária = % a.d. semestral = % a.s. 2.009

30 Calcular as Taxas Equivalentes: 10 % a.m. = % a.a. 21,5 % a.m. =
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento Taxas Equivalentes 2) Calcular as Taxas Equivalentes: 10 % a.m. = % a.a. 21,5 % a.m. = 56,25 % a.b. = % a.m. 400 % a.a. = 1.200 % a.a. = 0,6122 % a.d. = 1,531 % a.m. = 18 % a.a = 25 % a.a = % p.p. 63 dias 900 % a.a. = % p.p. 91 dias 2.009

31 Gráfico das Distorções dos Juros Simples X Juros Compostos
Análise de Investimentos Aspectos Matemáticos do Retorno de Investimento 10% DIAS SIMPLES COMPOSTO 30 10,00% 60 20,00% 21,00% 90 30,00% 33,10% 120 40,00% 46,41% 150 50,00% 61,05% 180 60,00% 77,16% 210 70,00% 94,87% 240 80,00% 114,36% 270 90,00% 135,79% 300 100,00% 159,37% 330 110,00% 185,31% 360 120,00% 213,84% Gráfico das Distorções dos Juros Simples X Juros Compostos J.Compostos J.Simples 2.009