Modelagem e Simulação de Processos – Equações Diferenciais

Apresentação em tema: "Modelagem e Simulação de Processos – Equações Diferenciais"— Transcrição da apresentação:

1 Modelagem e Simulação de Processos – Equações Diferenciais
Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira

2 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR INICIAL) Um fenômeno importante na indústria de processos é a transferência de massa entre duas correntes fluidas. Em fenômenos como absorção, destilação e retificação, uma corrente líquida flui para baixo e uma corrente em fase gasosa é forçada a subir através da fase líquida. A representação esquemática abaixo considera uma vazão molar L de líquido a uma composição f(t) e uma vazão molar V de um vapor a uma composição g(t) sendo alimentadas a um "prato" contendo uma massa m de líquido no qual se dá a transferência de massa. Deste processo resultam uma corrente líquida de composição x e uma corrente gasosa de composição y. Neste problema, todas as composições são expressas em fração molar. Considerando constantes L, V e m, pode-se obter a seguinte equação diferencial para a determinação da composição do líquido que sai do prato: , K é a constante de equilíbrio líquido-vapor E é a eficiência do prato (uma eficiência de 100% corresponde a uma situação em que x e y são as composições de equilíbrio para os componentes). Monte um gráfico (até que seja possível se visualizar o regime permanente) mostrando a variação da composição x com o tempo considerando os seguintes dados: a = 1; b = 2,5; f(t) = 0,05 + t para t<=0,5; f(t) = f(0,5) para t>0,5; g(t) = 0,01. Considere que no instante t=0, a composição de saída do líquido corresponde à concentração de entrada (x0=0,05).

3 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR INICIAL) Xcos:

4 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR INICIAL) Crescimento Microbiano em Biorreator Batelada Considere o crescimento de uma determinada bactéria em um biorreator batelada. Sendo a concentração inicial de microrganismos igual a X0 e a de substrato S0, se considerarmos que apenas um substrato limite o crescimento, que a quantidade de substrato consumida para a manutenção celular e para a formação de produtos seja insignificante, e que não haja inibição ao crescimento celular, a velocidade específica de crescimento celular (x) pode ser descrita pelo modelo de Monod: x=rx/X=máx*S/(ks+S) (1) onde: rx=velocidade de crescimento celular (g/[Lh]); X= concentração de bactérias (g/L); t=tempo (h); S=concentração de substrato (g/L); máx=velocidade específica máxima de crescimento (h-1); ks=concentração de substrato quando µx=µmáx/2 (g/L). A velocidade específica de consumo de substrato (µs) é dada por: s=rs/X=(1/Yx/s) x onde: Yx/s= conversão de substrato em células; rs= velocidade de consumo de substrato (g/[Lh]); Considerando X0=0.5g/L; S0=50g/L; máx=0.5h-1; ks=1g/L; Yx/s=0.5(g de células/grama de substrato), plote o gráfico das concentrações de substrato e células (X e S) no reator, em função do tempo, até que todo o substrato seja consumido. (2)

5 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR INICIAL) Crescimento Microbiano em Biorreator Batelada: Xcos (obs. 2 formas de resolver).

6 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO) Vários métodos numéricos: shooting, métodos de colocação, etc. No scilab pode-se utilizar a função bvode Reação-difusão em catalisador poroso Considere o fenômeno de reação-difusão envolvido na reação catalítica AB que ocorre em uma partícula catalítica porosa, presente em um reator. Para que a reação ocorra, o reagente A deve difundir do meio externo para o interior da partícula catalítica porosa (pois o elemento que catalisa a reação estará distribuido nos poros das partículas). Para uma cinética de ordem n qualquer, o balanço material adimensionalizado é dado pela seguinte equação diferencial. (1) Onde: ca é a concentração adimensional de reagente A no interior da partícula, calculada pela da divisão da concentração no interior da partícula pela concentração de reagente no meio fluido externo à partícula; xa é a coordenada espacial que corresponde à divisão entre a posição medida a partir do centro da partícula e o comprimento entre o centro e a superfície da partícula; α é o fator correspondente à geometria da partícula (α =1 para geometria retangular, α =2 para geometria cilíndrica e α =3 para geometria esférica); é o módulo de Thiele (que incorpora parâmetros de reação e de difusão). As condições de contorno, são apresentadas pelas seguintes equações: para xa = 0; para xa=1. O fator de efetividade (η), o qual é a razão entre a velocidade de reação real (incluindo a restrição difusional) e a velocidade de reação nas condições da superfície da partícula (sem restrição difusional) pode ser calculado a partir da seguinte equação: Plote as curvas de concentração adimensionalizada (ca) em função de xa para xa variando entre 0 e 1 com um passo de 0,01, para uma reação de primeira ordem e para a geometria esférica, para  = 0,5,  = 1,  = 2,  = 4 e  = 8; Compare os valores obtidos numericamente para o fator de efetividade para os módulos de Thiele do item a) com a solução analítica do fator de efetividade para geometria esférica:

7 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO) Vários métodos numéricos: shooting, métodos de colocação, etc. No scilab pode-se utilizar a função bvode Reação-difusão em catalisador poroso (shooting no Xcos)

8 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS Algoritmos de otimização: Nelder-Mead (fminsearch no scilab), Quasi-Newton (optim no scilab), Heurísticos – genéticos (optim_ga e optim_moga no scilab), recozimento simulado ou “simulated annealing” (optim_sa no scilab) Considere que um reator industrial (em batelada) processe as seguintes reações: Sendo inicialmente adicionados 1 kmol/m3 de A e 0,8 kmol/m3 de B, e considerando que a cinética das reações obedeça às seguinte equações: r1= k1*CA*CB r2= k2*CC r3= k3*CC r4=k4*CC Considerando as constantes cinéticas em m³/(kmol*h) iguais a: k1=10; k2=1;k3=5 e k4=10. Para a otimização do processo, foi feita uma análise financeira. Nessa análise, obteve-se a seguinte relação entre custo (C) e tempo de reação (em horas) no reator: C=100*et Por meio de uma análise de mercado, obteve-se a seguinte expressão relacionando o preço de venda (PV em reais) em função da concentração do produto de interesse (no caso CE em kmol/m3) PV=1000*CE Portanto o lucro, é: L=PV-C=1000*CE-100*et a) plote as curvas CA, CB, CC, CD e CE em função do tempo (em horas) de reação até o final da reação. b) Estime o tempo economicamente ótimo de reação. c) Em qual intervalo de concentração de E você poderá atender ao cliente sem ter prejuízo? Justifique a sua resposta.

9 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS a)

10 ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA
PROBLEMAS ENVOLVENDO OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS b) Otimização utilizando fminsearch. Obs. Como a otimização visa estimar valores de tempo que forneçam valores mínimos para uma função custo, teremos que adaptar o problema, pois o tempo passa a ser uma variável dependente, logo construiremos blocos independentes para a otimização. Obs. O item c) fica como desafio…