Estatística Aula 16 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado.

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1 Estatística Aula 16 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

2 Aula 17  Distribuição Normal  Aplicações  Distribuição Uniforme

3 A área (isto é, a integral) sob a função de densidade de probabilidade em um determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo Distribuição Contínua de Probabilidade Revisão

4 Para uma variável aleatória contínua Esperança de uma v.a. contínua v.a. discreta 

5 Para uma variável aleatória contínua Variância e Desvio Padrão de uma v.a. Contínua - v.a. discreta

6 Distribuição Uniforme Definição 12…n f(x) área = 1 1. Sempre positiva 2.Área abaixo da curva exatamente igual a 1

7 Distribuição Uniforme Definição 3. A área sob a curva e acima de qualquer intervalo de valores é a probabilidade (proporção) de todas as observações que se enquadram naquele intervalo. 0 caso contrário a b f(x) área =

8 Distribuição Uniforme Demonstração f(x)f(x) X a b X = [a, b]  a  X  b f(x) = ? ? 1 (área do retângulo) h

9 Distribuição Uniforme Esperança e Variância X = [a, b]  a  X  b f(x)f(x) X a b 1/(b - a)

10 Distribuição Uniforme Esperança e Variância X = [a, b]  a  X  b f(x)f(x) X a b 1/(b - a) continua...

11 Distribuição Uniforme Esperança e Variância f(x)f(x) X a b 1/(b - a) X = [a, b]  a  X  b

12 Distribuição Uniforme Esperança e Variância a  X  b f(x)f(x) X a b 1/(b - a)

13  A Distribuição Normal é o modelo mais usado para expressar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória  Esta distribuição também é conhecida como Curva de Gauss, e apresenta um gráfico em forma de sino, com média  determinando o centro da função e com desvio padrão  determinando a largura da função Distribuição Normal (Gaussiana) Introdução

14 É a mais usada e mais famosa distribuição de probabilidade para v.a. contínuas Uma Distribuição de frequência pode ter o seguinte formato Gráfico simétrico em relação à: média, mediana,.... ocorrendo isto, provavelmente os dados de origem se comportam segundo a distribuição normal Distribuição Normal (Gaussiana)

15 Parâmetros da distribuição   média da população  desvio padrão da população Notação: X ~ N (  ;  2 ) Distribuição Normal (Gaussiana) ~ significa segue  X ~ significa que a v.a. segue uma distribuição...

16 Equação: média Desvio padrão Distribuição Normal (Gaussiana) -   x   X  f(x) 

17 a) suave, unimodal e simétrica em relação à média Propriedades da curva normal b) aproxima-se do eixo das abscissas à medida que x se afasta da média  curva muda a concavidade nos pontos  –  e  +  c) a área total sob a curva representa 100% de probabilidade d) por causa da simetria, à esquerda da média 50% e à direita da média também 50% média Também a moda e a mediana Distribuição Normal (Gaussiana)

18 Distribuição Normal Médias diferentes e desvios padrão iguais Médias iguais e desvios padrão diferentes

19 Como calcularemos probabilidades? A probabilidade entre 150 e 200 média  = 100 e desvio padrão  50 X ~ N (100, 50 2 ) Distribuição Normal

20 Toda vez que um n o estiver Afastado da média 1    área corresponde a 68,26% da área total O mesmo raciocínio para: 2   95,5%, 2,575   99%...

21 z vezes o desvio padrão Para direita Para esquerda Distribuição Normal P(µ-σ < X < µ-σ ) = 0,6826 P(µ-2σ < X < µ-2σ ) = 0,9545 P(µ-3σ < X < µ-3σ ) = 0,9973

22 Distribuição Normal Exemplo 1 Se a distribuição do consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega segue uma distribuição normal, podemos utilizar a curva abaixo   = 15 sacos  = 6 sacos X = consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega X ~ N (15, 6 2 )

23 Distribuição Normal Exemplo 1 Proporções e probabilidades do consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega  = 15 sacos  = 6 sacos 15212793 68% 95%  probabilidade de consumir entre 9 e 21 sacos no período é de 0,68  probabilidade de consumir entre 3 e 27 sacos no período é de 0,95  Em 2,5% das vezes o consumo é superior a 27 sacos  Em 50% das vezes o consumo é superior a 15 sacos

24 Portanto, em mais de 16% das vezes necessitou-se de mais cimento do que o disponível no estoque. Proporções e probabilidades do consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega Distribuição Normal Exemplo 1 

25 Distribuição Normal Padrão Vimos que a curva normal possui áreas padronizadas P(µ - σ < X < µ - σ) = 0,6827  z = 1 vez o desvio padrão distante de média P(µ - 2σ < X < µ - 2σ) = 0,9545  z = 2 vezes... P(µ - 3σ < X < µ - 3σ) = 0,9973  z = 3 vezes... z é a chamada variável reduzida, calculada assim:

26 Com a variável reduzida A equação original se modifica: Média = 0 e Desvio padrão = 1 Distribuição normal padrão  Z ~ N(0,1) As tabela fornecem o valores da área Entre 0 e z Distribuição Normal Padrão

27  Muitas vezes estamos interessados em valores de probabilidade que a regra 68-95-99,7 não pode nos probabilidade que a regra 68-95-99,7 não pode nos fornecer fornecer Padronização da curva Normal Tabela z Como calcular a área abaixo da curva (probabilidade) nestes casos? Cálculo Integral Distribuição Normal Padrão

28 Métrica dessa distância Distância de X da média N (  ;  2 )  N ( 0 ;1 ) z > 0  X maior que a média z < 0  X menor que a média  = 0  = 1 Distribuição Normal Padrão

29  A distribuição Normal Padrão é a distribuição de uma variável aleatória que possui  igual a zero e  2 igual a 1. Nesta condição esta distribuição é representada por Z.  = 0 e  2 = 1  O cálculo da probabilidade normal, usando a função, algumas vezes requer métodos não elementares, portanto, esta probabilidade é determinada usando dados tabelados representados por:  (z) = P (Z  z)

30 Qual a probabilidade da variável aleatória z, distribuição normal padrão, estar entre 0 e 1? Regra 68-95-99,7 Distribuição Normal Padrão

31 z 0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,00,000000,003990,007980,011970,015950,019940,023920,027900,031880,03586 0,10,039830,043800,047760,051720,055670,059620,063560,067490,071420,07535 0,20,079260,083170,087060,090950,094830,098710,102570,106420,110260,11409 0,30,117910,121720,125520,129300,133070,136830,140580,144310,148030,15173 0,40,155420,159100,162760,166400,170030,173640,177240,180820,184390,18793 0,50,191460,194970,198470,201940,205400,208840,212260,215660,219040,22240 0,60,225750,229070,232370,235650,238910,242150,245370,248570,251750,25490 0,70,258040,261150,264240,267300,270350,273370,276370,279350,282300,28524 0,80,288140,291030,293890,296730,299550,302340,305110,307850,310570,31327 0,90,315940,318590,321210,323810,326390,328940,331470,333980,336460,33891 1,0 0,34134 0,343750,346140,348490,350830,353140,355430,357690,359930,36214 1,10,364330,366500,368640,370760,372860,374930,376980,379000,381000,38298 1,20,384930,386860,388770,390650,392510,394350,396170,397960,399730,40147 Segunda casa decimal de z z Distribuição Normal Padrão

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34 P(Z > 1,26) = 1 – P(Z  1,26) = 1 – 0,896165 = 0,103835 P(Z < -0,86) = 0,194894 P(Z > -1,37) = 1 – P(Z  -1,37) = 1 – 0,085343 = 0,914657 P(-1,25 < Z < 0,37) = P(Z < 0,37)-P(Z < -1,25) = 0,644309 – 0,105650 = 0,538659 Calcular as seguintes probabilidades: Exemplo 2 Distribuição Normal Padrão

35 Controle de Estoque O estoque de cimento em uma determinada obra acaba quando a demanda durante o tempo de espera (entre o pedido de compra e a entrega) é maior que 20 sacos. Qual a probabilidade de que isto aconteça? Distribuição Normal Padrão  = 15 sacos  = 6 sacos Exemplo 3

36 A chance de que o estoque acabe antes do tempo de espera é de 20,33%. 0,83 Área da tabela z z X Distribuição Normal Padrão

37 z 0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,00,000000,003990,007980,011970,015950,019940,023920,027900,031880,03586 0,10,039830,043800,047760,051720,055670,059620,063560,067490,071420,07535 0,20,079260,083170,087060,090950,094830,098710,102570,106420,110260,11409 0,30,117910,121720,125520,129300,133070,136830,140580,144310,148030,15173 0,40,155420,159100,162760,166400,170030,173640,177240,180820,184390,18793 0,50,191460,194970,198470,201940,205400,208840,212260,215660,219040,22240 0,60,225750,229070,232370,235650,238910,242150,245370,248570,251750,25490 0,70,258040,261150,264240,267300,270350,273370,276370,279350,282300,28524 0,80,288140,291030,29389 0,29673 0,299550,302340,305110,307850,310570,31327 0,90,315940,318590,321210,323810,326390,328940,331470,333980,336460,33891 1,00,341340,343750,346140,348490,350830,353140,355430,357690,359930,36214 1,10,364330,366500,368640,370760,372860,374930,376980,379000,381000,38298 1,20,384930,386860,388770,390650,392510,394350,396170,397960,399730,40147 Segunda casa decimal de z c z 0 zc z Distribuição Normal Padrão Atenção: esta tabela é um pouco diferente da anterior

38 Desenhar a curva com: 0 no meio, z1 e z2 Roteiro para uso da tabela z1 e z2 em lados opostos: achar a área de cada um e somar Distribuição Normal Padrão

39 z1 e z2 no mesmo lado: diminuir: área maior – área menor Distribuição Normal Padrão

40 Se quisermos uma área além de z? fazemos 0,5 – área de dentro A mesma coisa para o lado esquerdo Distribuição Normal Padrão

41 O último caso é este Fazemos: 1 – área de dentro Distribuição Normal Padrão

42 Qual a área entre z = -1 e z = 1? 0,3413 0,6826 ou 68,26% Distribuição Normal Padrão

43 Qual a área entre z = -1,25 e z = 1,25? 0,3944 0,7888 ou 78,88% Distribuição Normal Padrão

44 Qual a área entre z = 1 e z = 2? Distribuição Normal Padrão

45 Qual a área para z maior que 2,25? Distribuição Normal Padrão

46 QUE TIPO DE PROBLEMA NECESSITA DA DN E COMO RESOLVÊ-LO Distribuição Normal Padrão

47 Ou quando houver condições teórico- práticas obedecidas Quando os dados de origem se comportarem deste jeito; Distribuição Normal Padrão

48 Roteiro: resolver problemas 1)Identificar a média, o desvio padrão e a área desejada 2)Desenhar a curva do problema Média no meio Valores de interesse Distribuição Normal Padrão

49 3) Calcular os valores de z: 4) Desenhar a curva normal padrão 5) Calcular como antes (TABELA) Distribuição Normal Padrão

50 Exemplo – restaurante Peso médio consumido: 0,56 kg. Desvio padrão é de 0,040 kg. Admitir que esta v.a. seja distribuída normalmente e determinar: (a)quantas pessoas comem entre 0,50 e 0,70 kg; (b) mais do que 0,65 kg. Distribuição Normal Padrão 1)  = 0,56 e  = 0,04 Letra a) P(0,50 < X < 0,70) = ? Letra b) P(X > 0,65) = ?

51 2) Curva do problema Letra a) Distribuição Normal Padrão 3) Valores de z 4) Curva normal padrão

52 5) Área (TABELA) 93,3% dos pratos servidos estão entre 0,50 e 0,70 kg. Área = 0,9330 Distribuição Normal Padrão Letra b) R.: somente 1,22% dos pratos têm peso maior que 0,65 kg.

53 Estatística Aula 16 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues