Confiabilidade Estrutural

Apresentação em tema: "Confiabilidade Estrutural"— Transcrição da apresentação:

1 Confiabilidade Estrutural
Jorge Luiz A. Ferreira Professor

2 Introdução: Como se Comporta o deslocamento de partículas em suspensão num meio fluido ? 2

3 Introdução: Se comporta de forma aleatória seguindo um deslocamento chamado de movimento Browniano ! 3

4 Introdução: Se comporta de forma aleatória seguindo um deslocamento chamado de movimento Browniano ! 4

5 Introdução: Gostariamos desenvolver um experimento cujo objetivo é o de avaliar o número de vezes que uma partícula sai de um volume de controle quando a mesma flutua um fluido em um ambiente sem gravidade. De que forma poderíamos construir de uma forma simples um modelo numérico que nos permita explorar essa informação? 5

6 8 10 1 2 3 4 5 7 9 1 2 3 4 5 6 7 Possibilidades Mudar de Célula Subir,
Descer, Esquerda, Direita, Não Mudar de Célula 5 6 7 6

7 discreta K = 100000; for k = 1:K Dh = 41; Dv = 41; h0 = 20; v0 = 20;
sai = 0; passos = 1; while sai == 0 discreta; h0 = h0+dh; v0 = v0+dv; if h0 > Dh sai = 1; end if v0 > Dv sai = 1; end if h0 < 0 if v0 < 0 x(passos) = h0; y(passos) = v0; passos = passos + 1; PASSOS(k) = passos/(Dh*Dv); discreta R = unidrnd(5); switch R case 1 dh = 1; dv = 0; case 2 dh = -1; case 3 dh = 0; dv = 1; case 4 dv = -1; otherwise end 7

8 Média = 679 Mediana = 547 Minimo = 57 Máximo = 5310
Desvio Padrão = 478 8

9 Métodos de Monte Carlo Qualquer método de uma classe de métodos estatísticos que se baseiam em amostragens aleatórias massivas para obter resultados numéricos, isto é, repetindo sucessivas simulações um elevado número de vezes, para calcular probabilidades heuristicamente, tal como se, de fato, se registassem os resultados reais O termo "Monte Carlo" foi introduzido por Ulam, Von Neumann e Fermi, como um código de guerra associado ao projeto de construção da bomba atomica durante a Segunda Guerra Mundial. Stanisław Ulam John von Neumann Antes de vir aqui, eu estava confuso sobre este assunto. Depois de ter escutado sua palestra eu ainda estou confuso. Mas em um nível mais elevado. Enrico Fermi 9

10 Métodos de Monte Carlo – Etapas do Estudo
Formulação do Problema – Identificação das Relações Funcionais e do Comportamento dos Parâmetros. Estabelecimento dos Objetivos – Definição do(s) Parâmetros de Interesse, - Qual o Tipo de Resultado se tem Interesse (Probabilidades, Distribuição, Medidas Resumo, etc) Construção do(s) Modelo(s) Lógico(s)-Matemático Levantamento dos Dados Construção do Modelo Computacional Validação do Modelo Computacional Implementação 10

11 ... ... Modelo Físico Modelo Computacional
Métodos de Monte Carlo – Implementação Básica ... ... V1 V2 V3 Vn V1 V2 V3 Vn Gerar de m amostras para as n variáveis Alimentar Modelo Computacional com as m amostras Modelo Físico Modelo Computacional Estimar de m resultados para os k Parâmetros R1 R2 Rk R1 R2 Rk ? Usar os m valores obtidos para estudar as distribuições estatísticas dos Ri Parâmetros 11

12 Métodos de Monte Carlo – Exemplos
Análise da média e do coeficiente de variação relacionado a soma de 2 distribuições Gaussianas: z = kx + y, x~N(10,2), y~N(12,5) e k = 10. Solução Analítica: Solução Monte Carlo:

13 Métodos de Monte Carlo – Exemplos
Análise da média e do coeficiente de variação relacionado a soma de 2 distribuições Gaussianas: z = kx + y, x~N(10,2), y~N(12,5) e k = 10. Análise da Solução Monte Carlo: Num. de Replicações: 10

14 Métodos de Monte Carlo – Exemplos
Análise da média e do coeficiente de variação relacionado a soma de 2 distribuições Gaussianas: z = kx + y, x~N(10,2), y~N(12,5) e k = 10. Solução Monte Carlo:

15 Métodos de Monte Carlo – Exemplos
Estimativa do valor de p Área Quadrado, Aq: R2 Área Arco de Círculo, Ac: ¼ pR2 Relação entre Aq e Ac: ¼ p Distribuir de forma uniforme alguns pontos sobre o quadrado. Contar o número de objetos no interior do círculo e o número total de objetos. A razão das duas contagens é proporcional a relação entre as áreas, que é 𝜋 / 4. Multiplicar o resultado por 4 a estimar 𝜋 R R R

16 Métodos de Monte Carlo – Exemplos
Estimativa do valor de p

17 Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo-Aleatórios
Distribuição Uniforme U (A,B) Gerador com Distribuição Uniforme U(0, 1) x = A + r(B-A)

18 Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo-Aleatórios
Teorema da Transformação Integral da Probabilidade Se X for uma v.a. com função de distribuição Fx(x), estritamente crescente, e U ~ U(0,1), então F-1 (U) é uma v.a. identicamente distribuída a X. F(x) F-1 (u) u x x

19 Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo-Aleatórios
Distribuição Exponencial Exp (b) Gerador com Distribuição Uniforme U]0, 1[

20 Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo-Aleatórios
Distribuição de Frechet Gerador com Distribuição Uniforme U]0, 1[

21 Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo-Aleatórios
Distribuição de Gumbel Gerador com Distribuição Uniforme U]0, 1[

22 Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo-Aleatórios
Distribuição de Weibull W (z0, q, b) Gerador com Distribuição Uniforme U]0, 1[