Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação.

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1 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Professor Jorge Luiz A. Ferreira Análise, Planejamento e Tratamento de Dados Experimentais

2 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Como se Comporta o deslocamento de partículas em suspensão num meio fluido ? Introdução:

3 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Se comporta de forma aleatória seguindo um deslocamento chamado de movimento Browniano ! Introdução:

4 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Gostariamos desenvolver um experimento cujo objetivo é o de avaliar o número de vezes que uma partícula sai de um volume de controle quando a mesma flutua um fluido em um ambiente sem gravidade. De que forma poderíamos construir de uma forma simples um modelo numérico que nos permita explorar essa informação? Introdução:

5 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural 1 2 3 4 5 6 7 1 3 4 2 5 7 8 9 10 Possibilidades Mudar de Célula Subir, Descer, Esquerda, Direita, Não Mudar de Célula

6 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural K = 100000; for k = 1:K Dh = 41; Dv = 41; h0 = 20; v0 = 20; sai = 0; passos = 1; while sai == 0 discreta; h0 = h0+dh; v0 = v0+dv; if h0 > Dh sai = 1; end if v0 > Dv sai = 1; end if h0 < 0 sai = 1; end if v0 < 0 sai = 1; end x(passos) = h0; y(passos) = v0; passos = passos + 1; end PASSOS(k) = passos/(Dh*Dv); end discreta R = unidrnd(5); switch R case 1 dh = 1; dv = 0; case 2 dh = -1; dv = 0; case 3 dh = 0; dv = 1; case 4 dh = 0; dv = -1; otherwise dh = 0; dv = 0; end

7 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Média= 679 Mediana= 547 Minimo= 57 Máximo= 5310 Desvio Padrão= 478

8 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Qualquer método de uma classe de métodos estatísticos que se baseiam em amostragens aleatórias massivas para obter resultados numéricos, isto é, repetindo sucessivas simulações um elevado número de vezes, para calcular probabilidades heuristicamente, tal como se, de fato, se registassem os resultados reais Métodos de Monte Carlo O termo "Monte Carlo" foi introduzido por Ulam, Von Neumann e Fermi, como um código de guerra associado ao projeto de construção da bomba atomica durante a Segunda Guerra Mundial. Stanisław Ulam John von Neumann Antes de vir aqui, eu estava confusa sobre este assunto. Depois de ter escutado sua palestra eu ainda estou confuso. Mas em um nível mais elevado. Enrico Fermi

9 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Etapas do Estudo Formulação do Problema Estabelecimento dos Objetivos – Identificação das Relações Funcionais e do Comportamento dos Parâmetros. – Definição do(s) Parâmetros de Interesse, - Qual o Tipo de Resultado se tem Interesse (Probabilidades, Distribuição, Medidas Resumo, etc) Construção do(s) Modelo(s) Lógico(s)-Matemático Levantamento dos Dados Construção do Modelo Computacional Validação do Modelo Computacional Implementação

10 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Implementação Básica Modelo Físico Modelo Computacional V1V1 V2V2 V3V3 VnVn... R1R1 R2R2 RkRk ? V1V1 V2V2 V3V3 VnVn R1R1 R2R2 RkRk Gerar de m amostras para as n variáveis Alimentar Modelo Computacional com as m amostras Estimar de m resultados para os k Parâmetros Usar os m valores obtidos para estudar as distribuições estatísticas dos R i Parâmetros

11 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Exemplos Análise da média e do coeficiente de variação relacionado a soma de 2 distribuições Gaussianas: z = kx + y, x ~ N(10,2), y ~ N(12,5) e k = 10. Solução Analítica: Solução Monte Carlo:

12 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Exemplos Análise da média e do coeficiente de variação relacionado a soma de 2 distribuições Gaussianas: z = kx + y, x ~ N(10,2), y ~ N(12,5) e k = 10. Análise da Solução Monte Carlo: Num. de Replicações: 10

13 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Exemplos Análise da média e do coeficiente de variação relacionado a soma de 2 distribuições Gaussianas: z = kx + y, x ~ N(10,2), y ~ N(12,5) e k = 10. Solução Monte Carlo:

14 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Exemplos Estimativa do valor de  R R R Área Quadrado, A q : R 2 Área Arco de Círculo, A c : ¼  R 2 Relação entre A q e A c : ¼  Distribuir de forma uniforme alguns pontos sobre o quadrado. Contar o número de objetos no interior do círculo e o número total de objetos. A razão das duas contagens é proporcional a relação entre as áreas, que é / 4. Multiplicar o resultado por 4 a estimar

15 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Exemplos Estimativa do valor de 

16 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo- Aleatórios Distribuição Uniforme U (A,B) x = A + r(B-A) Gerador com Distribuição Uniforme U(0, 1)

17 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo- Aleatórios Teorema da Transformação Integral da Probabilidade Se X for uma v.a. com função de distribuição F x (x), estritamente crescente, e U ~ U(0,1), então F -1 (U) é uma v.a. identicamente distribuída a X. F -1 (u) u x F(x) x

18 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo- Aleatórios Distribuição Exponencial Exp (  ) Gerador com Distribuição Uniforme U]0, 1[

19 Modelagem de Fenômenos Físicos Utilizando a Técnica de Monte Carlo Universidade de Brasília Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós graduação em Integridade Estrutural Métodos de Monte Carlo – Gerador de Num. Pseudo- Aleatórios Distribuição de Weibull W ( z   ) Gerador com Distribuição Uniforme U]0, 1[