Cálculo Diferencial e Integral III

Apresentação em tema: "Cálculo Diferencial e Integral III"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo Diferencial e Integral III
Aula 10 Prof(a): Ana Lucia de Sousa

2 Objetivos Determinar uma expansão em Série de Fourier de uma função.
Coeficientes na expansão em série de Fourier Teorema de convergência de séries de Fourier

3 SÉRIE DE FOURIER A série de Fourier, nomeada em homenagem a Jean-Baptiste Joseph Fourier ( ). A ideia do Fourier é transformar uma função periódica numa soma infinita de senos e cossenos.

4 Funções periódicas Existem funções y = f(x) que repetem valores de y para um determinado acréscimo no valor de x. Podemos dizer que uma função f de domínio D é periódica se existe um número real P > 0, chamado período de f, tal que f(x) = f(x + P). Ou seja, a função se repete a cada período.

5 Podemos dizer que uma função f de domínio D é periódica se existe um número real P > 0, chamado período de f, tal que f(x) = f(x+P). Ou seja, a função se repete a cada período. Ou seja, função periódica é uma função que se repete a cada período.

6 Por exemplo: A função seno é periódica e seu período é 2π. A função cosseno também possui período 2π. Se f(x) tem período T, então podemos escrever f(x) = f(x + T).

7 Função par e função ímpar
Uma função f é chamada de par se f(-x) = f(x) e é chamada de ímpar se f(-x) = -f(x), para todo x no domínio. Vamos entender melhor!

8 Função par: f(-x) = f(x)
Isso significa que os números x e -x possuem a mesma imagem. Exemplo Seja a função f(x) = x2 - 4 com domínio real. f(1) = -3 e f(-1) = -3, ou seja 1 e -1 possuem a mesma imagem -3. Exemplo: A função y = cosx é par, pois cos (-x) = cos x

9 Função ímpar: f(-x) = -f(x)
Isso significa que os números x e -x possuem imagens opostas Exemplo Seja a função f(x) = 3x com domínio real. f(1) = 3 e f(-1) = -3, ou seja, 1 e -1 têm imagens opostas. Exemplo: A função y = senx é ímpar, pois sen (-x) = - sen x

10 Definição: Na série de Fourier a função f(x) é escrita como uma série trigonométrica, onde f(x) é definida no intervalo – L < x < L, com período T = 2L.

11 Chamamos a f(x) de série de Fourier.
Os termos ao , an e bn são os coeficientes que variam dependendo da função que estamos analisando. L é o período da função que queremos representar como uma série.

12 Fórmula de Euler-Fourier
Precisamos definir os coeficientes na expansão em série de Fourier do seguinte modo:     Definindo a0

13 Definindo an Definindo bn

14 Portanto, definiremos Série de Fourier como:
 A serie de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo - L < x < L é:

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21 sen n = sen(-n) = 0 cos (n) = cos(-n) = (-1)n

22 TEOREMA DE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES DE FOURIER
Se a função f e sua derivada são contínuas por partes no intervalo -L < x < L, então f é igual a sua série de Fourier em todos os pontos de continuidade. Em um ponto c onde um salto de descontinuidade ocorre em f, a série de Fourier converge para a média

23  Resumindo a convergência desta série de Fourier temos:
Portanto, a série de Fourier converge para f(x) nos pontos de continuidade e para a médias dos limites laterais nos pontos de descotinuidade.

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25 Analisando o gráfico percebemos que a série de Fourier converge para -1 para -L < x < 0 e converge para 1 para 0 < x < L. A série converge para zero ( valor médio).

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