. EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Apresentação em tema: ". EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS"— Transcrição da apresentação:

1 . EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
. INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

2 Equações trigonométricas
sen 𝑥=sen 𝛼 ⟺𝑥=𝛼+2𝑘𝜋∨𝑥=𝜋−𝛼+2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ Casos particulares: 𝜋 2 +2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ ⟺𝑥= 𝜋 2 +2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ sen 𝑥=1 No modo de apresentação, clique na lupa para ver a imagem num tamanho maior. 𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ sen 𝑥=0 ⟺𝑥=𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ ⟺𝑥= 3𝜋 2 +2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ sen 𝑥=−1 3𝜋 2 +2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ

3 Exemplo 2 Resolve, em ℝ, a equação sen 𝑥=− 1 2 .
Sugestão de resolução: sen 𝑥 =− 1 2 ⟺ sen 𝑥= sen − 𝜋 6 ⟺𝑥=− 𝜋 6 +2𝑘𝜋∨𝑥=𝜋− − 𝜋 6 +2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ ⟺𝑥=− 𝜋 6 +2𝑘𝜋∨𝑥= 7𝜋 6 +2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ

4 Equações trigonométricas
cos 𝑥 = cos 𝛼 ⟺𝑥=𝛼+2𝑘𝜋∨𝑥=−𝛼+2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ Casos particulares: 𝜋 2 +𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ cos 𝑥 =1 ⟺𝑥=2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ No modo de apresentação, clique na lupa para ver a imagem num tamanho maior. ⟺𝑥= 𝜋 2 +𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ 𝜋+2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ cos 𝑥 =0 2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ cos 𝑥 =−1 ⟺𝑥=𝜋+2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ

5 Exemplo 3 Resolve, em ℝ, a equação 2cos 𝑥 =−1 . Sugestão de resolução:
⟺ cos 𝑥= cos 2𝜋 3 ⟺𝑥= 2𝜋 3 +2𝑘𝜋∨𝑥=− 2𝜋 3 +2𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ

6 Equações trigonométricas
tg 𝑥 = tg 𝛼 ⟺𝑥=𝛼+𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ Caso particular: No modo de apresentação, clique na lupa para ver a imagem num tamanho maior. tg 𝑥 =0 ⟺𝑥=𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ 𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ

7 Exemplo 4 Resolve a equação 2+tg 𝑥 5 =3 , para 𝑥∈ 0, 2𝜋 .
Sugestão de resolução: 2+tg 𝑥 5 =3 ⟺ tg 𝑥 5 =1 ⟺ tg 𝑥 5 = tg 𝜋 4 ⟺ 𝑥 5 = 𝜋 4 +𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ ⟺𝑥=5× 𝜋 4 +𝑘𝜋 , 𝑘∈ℤ ⟺𝑥= 5𝜋 4 +5𝑘𝜋, 𝑘∈ℤ Para 𝑥∈ 0, 2𝜋 : 𝑥= 5𝜋 4 −5𝜋=− 15𝜋 4 ∉ [0, 2𝜋] 𝑘=−1: 𝑥= 5𝜋 4 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] 𝑘=0: 𝑘=1: 𝑥= 5𝜋 4 +5𝜋= 25𝜋 4 ∉ [0, 2𝜋] Em [0, 2𝜋], a solução da equação é 5𝜋 4 .

8 Inequações trigonométricas
Para resolver uma inequação trigonométrica podemos também recorrer à circunferência trigonométrica. Exemplo: Resolve a inequação sen 𝑥> 1 2 em 𝑥∈ 0, 2𝜋 . Sugestão de resolução: Sabemos que sen 𝜋 6 = 1 2 e sen 5𝜋 6 = 1 2 Atendendo à variação do seno temos que sen 𝑥> 1 2 ⟺𝑥∈ 𝜋 6 , 5𝜋 6