Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse. Definição: Uma elipse é o lugar geométrico formado pelas posições ocupadas por um ponto que se move em.

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1 Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse

2 Definição: Uma elipse é o lugar geométrico formado pelas posições ocupadas por um ponto que se move em um plano de maneira que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos no referido plano é sempre igual a uma constante maior do que a distância entre os dois pontos fixos. Ilustração baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometria- analitica-elipse.htmlari B1B1 B2B2 A1A1 A2A2 (0;b) P(x;y) (a;0)x y F 2 (c;0) (0; -b) a 0 F 1 (-c;0) (-a;0)

3 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO Os pontos fixos são denominados focos da elipse. A definição de uma elipse não exclui o caso em que o ponto móvel se encontra sobre o segmento retilíneo delimitado pelos focos. F1F1 F2F2

4 A reta que passa pelos focos é chamada eixo focal. O eixo focal intercepta a elipse em dois pontos, A 1 e A 2, denominados vértices. A porção do eixo focal delimitada pelos vértices, o segmento A 1 A 2, é denominado eixo maior. O ponto sobre o eixo focal, equidistante dos focos, é denominado centro. A reta que passa pelo centro perpendicularmente ao eixo focal é chamada de eixo normal. O eixo normal intercepta a elipse em dois pontos, B 1 e B 2, e o segmento B 1 B 2 é denominado eixo menor. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Imagem baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.html B1B1 B2B2 A1A1 A2A2 (0;b) P(x;y) (a;0)x y F 2 (c;0) (0; -b) a 0F 1 (-c;0) (-a;0)

5 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse EQUAÇÃO PADRÃO DA ELIPSE Consideremos a elipse cujo centro está na origem e cujo eixo focal é coincidente com o eixo X. Uma vez que o centro O é o ponto médio do segmento retilíneo F 1 F 2, atribuímos a F 1 e F 2 as coordenadas (-c, 0) e (c, 0), respectivamente, sendo c uma constante positiva. Seja P(x, y) qualquer ponto sobre a elipse. Então, segundo a definição de elipse, o ponto P deve satisfazer a condição geométrica |F 1 P| + |F 2 P| = 2a, onde a é uma constante positiva maior do que c. B1B1 B2B2 A1A1 A2A2 (0;b) P(x;y) (a;0)x y F 2 (c;0) (0; -b) a 0F 1 (-c;0) (-a;0) Imagem baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/g eometria-analitica-elipse.html

6 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Dessa forma: B1B1 B2B2 A1A1 A2A2 (0;b) P(x;y) (a;0)x y F 2 (c;0) (0; -b) a 0F 1 (-c;0) (-a;0) Imagem baseada em: www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica-elipse.html √(x-c)²+y² + √(x+c)² +y²=2a

7 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse A fim de simplificar a equação transpomos ao segundo membro o segundo radical, elevamos ao quadrado, simplificamos e reduzimos os termos seme- lhantes; isto nos dá Novamente elevando ao quadrado e simplificando chegamos a (a² − c²)x² + a²y² = a²(a² − c²) B1B1 B2B2 A1A1 A2A2 (0;b) P(x;y) (a;0)x y F 2 (c;0) (0; -b) a 0F 1 (-c;0) (-a;0) Imagem baseada em: www.algosobre.com.br/matemat ica/geometria-analitica- elipse.html cx + a² = a√(x + c)² + y²

8 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Visto ser 2a > 2c, a² > c² e (a² − c²) é um número positivo que podemos substituir pelo número positivo b². Obtemos: b²x² + a²y² = a²b² que, dividido por a²b² assume a forma x² + y² = 1 a² b² ̇ x F2F2 y a b

9 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO 1 Para elipses com focos no eixo Y e centro em O(0, 0) a equação é x² + y² = 1 b² a² ̇ F1F1 F2F2 a x y b

10 F1F1 F2F2 a x y b MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO 2 Para elipses com centro C(x’, y’) em que x’ e/ou y’ é diferente de zero, temos (x – x’)² + (y – y’)² = 1 ou (x – x’)² + (y – y’)² = 1 a² b² b² a² ̇ elipse de eixo maior horizontal elipse de eixo maior vertical. x F2F2 y a b C(x’, y’) F1F1

11 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Excentricidade A excentricidade de uma elipse é dada pela expressão: e = c a Onde 0 < e < 1. e = 0,8 e = 0,6

12 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO 1 e = 0 → circunferência

13 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse OBSERVAÇÃO 2 e = 1 → parábola Obs: e = 1 neste caso corresponde a y^2=0 (reta dupla) mas que de modo geral será a excentricidade de uma parábola.

14 OBSERVAÇÃO 3 e > 1 → hipérbole Obs: corresponde à excentricidade de uma hipérbole. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse

15 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Propriedades da elipse 1.A tangente à elipse b²x² + a²y² = a²b² em qualquer ponto P 1 (x 1, y 1 ) sobre a curva tem por equação b²x 1 x + a²y 1 y = a²b². y x P(x 1, y 1 )

16 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Propriedades da elipse 2. As equações das tangentes de declividade m à elipse b²x² + a²y² = a²b² são y = mx ± √ a²m² + b² y x

17 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Propriedades da elipse 3. A normal a uma elipse em qualquer ponto sobre a curva é a bissetriz do ângulo formado pelos raios focais daquele ponto. Imagem baseada em: http://alfaconnection.net/pag_avsm/geo0501.htm a FF’ P tangente normal a

18 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Com base, então, nas propriedades da elipse, podemos determinar a equação da reta normal à elipse que passa por um ponto P(x’, y’) pertencente a ela mesma. Sabemos que a reta normal é perpendicular à elipse no ponto P e, portanto, perpendicular à reta tangente à elipse nesse mesmo ponto P. P(x’,y’) Reta tangente Reta normal y x

19 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Da primeira propriedade concluímos que o coeficiente angular da reta tangente à elipse que passa pelo ponto P(x’, y’) pertencente à elipse é dado por: m tg = ‗ b 2 x’ a 2 y’ Portanto: m normal = a 2 y’ b 2 x’ Logo, a equação da reta normal será dada por: y – y’ = a 2 y’ (x − x’) b 2 x’ Que, simplificando, resulta em: a 2 y’x − b 2 x’y = x’y’(a 2 − b 2 )

20 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE Em um plano cartesiano podemos construir uma elipse a partir de duas circunferências concêntricas, C(0, 0), e raios distintos. Primeiro traçamos raios da circunferência maior. Em seguida, a partir de cada ponto da circunferência maior determinado pelo respectivo raio traçamos segmentos paralelos ao eixo menor da elipse, tendo como outro extremo um ponto do eixo maior e, a partir dos pontos de interseção dos raios com a circunferência menor, traçamos segmentos paralelos ao eixo maior até interceptar o segmento anterior, esses pontos determinam a elipse, como mostra a figura. x

21 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse CONSTRUÇÃO DE UMA ELIPSE Determinados os focos da elipse e o valor de a constroem-se pares de circunferências, centradas nos focos da elipse, de tal forma que a soma de seus raios seja igual a 2a. Assim, os pontos de interseção desses pares de circunferências determinam a elipse, como mostra a figura.

22 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria Analítica: Estudo das cônicas: Elipse Atividades resolvidas 1.Determine as coordenadas dos focos das elipses cujas equações estão indicadas: a)(x + 2) 2 + (y – 8) 2 = 1 100 64 Dados: a 2 = 100 c 2 = a 2 – b 2 b 2 = 64 c 2 = 100 – 64 C(−2, 8) c 2 = 36 → c = 6 Como o eixo maior é paralelo ao eixo X, temos: F 1 (x c – c, y c ) e F 2 (x c + c, y c ) Logo: F 1 (−2 – 6, 8) e F 2 (−2 + 6, 8) → F 1 (−8, 8) e F 2 (4, 8)