Forças Distribuídas: Momentos de Inércia

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1 Forças Distribuídas: Momentos de Inércia

2 Conteúdo Introdução Momentos de Inércia de Superfícies
Momentos de Inércia de uma Superfície por Integração Momento de Inércia Polar Raio de Giração de uma Superfície Problema Resolvido 9.1 Problema Resolvido 9.2 Teorema dos Eixos Paralelos Momentos de Inércia de Superfícies Compostas Problema Resolvido 9.4 Problema Resolvido 9.5 Produto de Inércia Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais Problema Resolvido 9.6 Problema Resolvido 9.7 Círculo de Mohr para Momentos e Produtos de Inércia Problema Resolvido 9.8 Momentos de Inércia de Corpos Teorema dos Eixos Paralelos Momentos de Inércia de Placas Delgadas Momento de Inércia de um Corpo Tridimensional por Integração Momentos de Inércia de Massa de Formatos Geométricos Usuais Problema Resolvido 9.12 Momento de Inércia em Relação a um Eixo Arbitrário Elipsoide de Inércia. Eixos Principais de Inércia

3 Introdução As forças distribuídas já consideradas anteriormente eram proporcionais às áreas ou volumes associados a elas. A resultante dessas forças poderia ser obtida pela soma das áreas ou volumes correspondentes. O momento da resultante em relação a um dado eixo poderia ser determinado pelo cálculo dos momentos de primeira ordem das superfícies ou sólidos em relação a esse eixo. Agora serão consideradas forças cujas intensidades dependem não só dos elementos de área ou de volume sobre os quais atuam, mas também variam linearmente com a distância entre esses elementos e algum eixo dado. Será mostrado que a intensidade da resultante depende do momento de primeira ordem da superfície sobre a qual atua a força em relação ao eixo considerado. O ponto de aplicação da resultante depende do momento de segunda ordem, ou momento de inércia da mesma superfície em relação ao eixo. Este capítulo apresentará métodos para calcular os momentos e produtos de inércia para superfícies e sólidos.

4 Momento de Inércia de uma Superfície
Consideraremos forças distribuídas cujas intensidades são proporcionais aos elementos de área sobre os quais essas forças atuam e que, ao mesmo tempo, variam linearmente com a distância entre e um dado eixo. Exemplo: Consideremos uma viga sujeita a flexão pura. As forças internas variam linearmente com a distância do eixo neutro que passa pelo centroide da seção. Exemplo: Consideremos a força hidrostática em uma comporta circular vertical submersa de um reservatório.

5 Momentos de Inércia de uma Superfície por Integração
Os Momentos de Segunda Ordem ou Momentos de Inércia de Superfícies em relação aos eixos x e y são: O cálculo das integrais é simplificado escolhendo-se dA como sendo uma faixa estreita paralela a um dos eixos coordenados. Para uma superfície retangular, A fórmula para superfícies retangulares também pode ser aplicada para faixas paralelas aos eixos x e y.

6 Momento de Inércia Polar
O momento de inércia polar é um parâmetro importante em problemas que tratam da torção de eixos cilíndricos e da rotação de placas. O momento de inércia polar pode ser calculado a partir dos momentos de inércia retangulares,

7 Raio de Giração de uma Superfície
Considere-se uma superfície A com momento de inércia Ix. Imaginemos que a superfície está concentrada em uma faixa estreira paralela ao eixo x com Ix equivalente. kx = raio de giração em relação ao eixo x. De forma similar,

8 Problema Resolvido 9.1 SOLUÇÃO:
Escolhemos um faixa diferencial paralela ao eixo x com área dA. Usando triângulos semelhantes temos, Determine o momento de inércia de um triângulo em relação à sua base. Integrando dIx de y = 0 até y = h, obtemos

9 Problema Resolvido 9.2 SOLUÇÃO:
Escolhemos um elemento diferencial anelar de superfície com área dA, a) Determine o momento de inércia polar centroidal de uma superfície circular por integração direta. b) Usando o resultado da parte a, determine o momento de inércia de uma superfície circular em relação a um diâmetro. Devido à simetria da superfície, temos, Ix = Iy,

10 Teorema dos Eixos Paralelos
Considere o momento de inércia I de uma superfície A em relação a um eixo AA’ O eixo BB’ passa pelo centroide da superfície e é denominado eixo centroidal. teorma dos eixos paralelos

11 Teorema dos Eixos Paralelos
Momento de inércia IT de uma superfície circular em relação a uma linha tangente ao círculo: Momento de inércia de um triângulo em relação a um eixo centroidal:

12 Momentos de Inércia de Superfícies Compostas
O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um dado eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das superfícies componentes A1, A2, A3, ... , em relação ao mesmo eixo.

13 Momentos de Inércia de Superfícies Compostas

14 Problema Resolvido 9.4 SOLUÇÃO:
Determinamos a localização do centroide da seção composta em relação a um sistema de coordenadas com origem no centroide C da seção. Aplicamos o teorema dos eixos paralelos para determinar os momentos de inércia do perfil I e da placa em relação ao eixo centroidal da seção composta. A resistência de uma viga em perfil I 360 x 44 é aumentada ao se anexar uma placa à sua aba superior. Determine o momento de inércia e o raio de giração da seção composta em relação a um eixo paralelo à placa passando pelo centroide da seção. Calculamos o raio de giração a partir do momento de inércia da seção composta

15 Problema Resolvido 9.4 SOLUÇÃO:
Determinamos a localização do centroide da seção composta em relação a um sistema de coordenadas com origem no centroide C da seção.

16 Problema Resolvido 9.4 Aplicamos o teorema dos eixos paralelos para determinar os momentos de inércia do perfil I e da placa em relação ao eixo centroidal da seção composta. Calculamos o raio de giração a partir do momento de inércia da seção composta

17 Problema Resolvido 9.5 SOLUÇÃO:
Calculamos os momentos de inércia do retângulo (120 mm x 240 mm) e do semicírculo em relação ao eixo x. O momento de inércia da superfície sombreada é obtido subtraindo-se o momento de inércia do semicírculo do momento de inércia do retângulo. Determine o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo x.

18 Problema Resolvido 9.5 SOLUÇÃO:
Calculamos os momentos de inércia do retângulo e do semicírculo em relação ao eixo x. Retângulo: Semicírculo: momento de inércia em relação a AA’, momento de inércia em relação a x’, momento de inércia em relação a x,

19 Problema Resolvido 9.5 O momento de inércia da superfície sombreada é obtido subtraindo-se o momento de inércia do semicírculo do momento de inércia do retângulo.

20 Produto de Inércia Produto de Inércia:
Quando o eixo x, o eixo y, ou ambos são eixos de simetria, o produto de inércia é zero. Teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia:

21 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
Dados desejamos determinar os momentos e o produto de inércia em relaçãos aos novos eixos x’ e y’. Com a rotação dos eixos tem-se As equações para Ix’ e Ix’y’ são as equações paramétricas para um círculo, Observação: As equações para Iy’ e Ix’y’ descrevem o mesmo círculo.

22 Eixos Principais e Momentos de Inércia Principais
Nos pontos A e B, Ix’y’ = 0 é Ix’ é máximo e mínimo, respectivamente. A equação para Qm define dois ângulos apartados de 90o que correspondem aos eixos principais da superfície em relação a O. Imáx e Imín são os momentos principais de inércia da superfície em relação a O.

23 Problema Resolvido 9.6 SOLUÇÃO:
Determinamos o produto de inércia por integração direta utilizando o teorema dos eixos paralelos para uma faixa retangular diferencial vertical da superfície. Aplicamos o teorema dos eixos paralelos para determinar o produto de inércia em relação aos eixos centroidais. Determine o produto de inércia do triângulo retângulo (a) em relação aos eixos x e y e (b) em relação aos eixos centroidais paralelos aos eixos x e y.

24 Problema Resolvido 9.6 SOLUÇÃO:
Determinamos o produto de inércia por integração direta utilizando o teorema dos eixos paralelos para uma faixa retangular diferencial vertical da superfície. Integrando dIx de x = 0 até x = b, obtemos

25 Problema Resolvido 9.6 Aplicamos o teorema dos eixos paralelos para determinar o produto de inércia em relação aos eixos centroidais. Com os resultados da parte a,tem-se:

26 Problema Resolvido 9.7 SOLUÇÃO:
Calculamos o produto de inércia em relação aos eixos x e y dividindo a seção em três retângulos e aplicando o teorema dos eixos paralelos a cada um. Determinamos a orientação dos eixos principais e dos momentos de inércia principais utilizando as fórmulas deduzidas anteriormente. Para a seção mostrada, os momentos de inércia em relação aos eixos x e y são Ix = 4,05 x 106 mm4 e Iy = 2,72 x 106 mm4. Determine (a) a orientação dos eixos principais da seção em relação a O e (b) os valores dos momentos de inércia principais em relação a O.

27 Problema Resolvido 9.7 SOLUÇÃO:
Calculamos o produto de inércia em relação aos eixos x e y dividindo a seção em três retângulos. Aplicamos o teorema dos eixos paralelos a cada retângulo, Deve-se observar que o produto de inércia em relação aos eixos centroidais paralelos aos eixos x e y é zero para cada retângulo.

28 Problema Resolvido 9.7 Determinamos a orientação dos eixos principais e dos momentos de inércia principais utilizando as fórmulas deduzidas anteriormente.

29 Círculo de Mohr para Momentos e Produtos de Inércia
Os momentos e o produto de inércia para uma superfície são plotados como mostrado e são utilizados para construir o círculo de Mohr, O círculo de Mohr pode ser usado para determinar graficamente ou analiticamente os momentos e o produto de inércia para quaisquer eixos retangulares incluindo os eixos principais e os momentos e produto de inércia principais.

30 Problema Resolvido 9.8 SOLUÇÃO:
Plotamos os pontos (Ix , Ixy) e (Iy ,-Ixy) e construímos o círculo de Mohr sabendo que o diâmetro do círculo equivale à distância entre os pontos. A partir do círculo, determinamos a orientação dos eixos principais e os momentos de inércia principais. Para a seção mostrada, sabe-se que os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos x e y são Ix = 7,20 x 106 mm4, Iy = 2,59 x 106 mm4 e Ixy = -2,54 x 106 mm4. Usando o círculo de Mohr, determine (a) os eixos principais em relação a O, (b) os valores dos momentos principais em relação a O e (c) os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos x’ e y’. Também a partir do círculo, determinamos os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos x’ e y’.

31 Problema Resolvido 9.8 SOLUÇÃO:
Plotamos os pontos (Ix , Ixy) e (Iy ,-Ixy) e construímos o círculo de Mohr sabendo que o diâmetro do círculo equivale à distância entre os pontos.

32 Problema Resolvido 9.8 Também a partir do círculo, determinamos os momentos e o produto de inércia em relação aos eixos x’ e y’. Os pontos X’ e Y’ correspondentes aos eixos x’ e y’ são obtidos pela rotação de CX e CY no sentido anti-horário de um ângulo 2 = 2(60o) = 120o. O ângulo entre CX’ e o eixo horizontal é f = 120o – 47,8o = 72,2o.

33 Momentos de Inércia de Corpos
A aceleração angular ,em relação ao eixo AA’, de um pequeno corpo de massa Dm devida a aplicação de um binário é proporcional a r2Dm. r2Dm = momento de inércia de um corpo de massa Dm em relação ao eixo AA’ Para um corpo de massa m, uma medida de sua resistência à rotação em torno do eixo AA’ é O raio de giração para uma massa concentrada com momento de inércia equivalente é

34 Momentos de Inércia de um Corpo
O momento de inércia em relação ao eixo y é: De forma similar, os momentos de inércia em relação aos eixos x e z são: Em unidades do SI, Em unidades usuais nos E.U.A.,

35 Teorema dos Eixos Paralelos
Para um sistema de coordenadas retangulares com origem em O e eixos paralelos aos eixos centroidais, Generalizando, para qualquer eixo AA’ e um eixo centroidal paralelo tem-se,

36 Momentos de inércia de Placas Delgadas
Para uma placa delgada de espessura uniforme t e feita de um material homogêneo de massa específica r, o momento de inércia da placa em relação ao eixo AA’ contido no plano do placa é De forma similar, para um eixo BB’ perpendicular a AA’ que também está contido no plano da placa, tem-se Para o eixo CC’ que é perpendicular ao plano da placa,

37 Momentos de inércia de Placas Delgadas
Em relação aos eixos que passam pelo centro de gravidade da placa retangular tem-se, Em relação aos eixos centroidais em uma placa circular tem-se,

38 Momentos de inércia de um Corpo Tridimensional por Integração
O momento de inércia de um corpo homogêneo é obtido pelo cálculo de integrais duplas ou triplas dependendo do formato do corpo. Para corpos com dois planos de simetria, o momento de inércia pode ser obtido por integração simples, escolhendo como elemento de massa dm uma fatia delgada perpendicular aos planos de simetria. para um corpo composto, o momento de inércia em relação a um eixo pode ser obtido pela soma dos momentos de inércia dos componentes do corpo em relação ao mesmo eixo.

39 Momentos de Inércia de Massa de Formatos Geométricos Usuais

40 Problema Resolvido 9.12 SOLUÇÃO:
Após dividir a peça em um prisma e dois cilindros, calculamos a massa e os momentos de inércia de cada componente em relação aos eixos x,y e z utilizando o teorema dos eixos paralelos Somamos os momentos de inércia dos componentes para determinar os momentos de inércia totais para a peça. Determine os momentos de inércia da peça de aço em relação aos eixos de coordenadas x, y e z sabendo que o peso específico do aço é 0,077 N/cm³.

41 Problema Resolvido 9.12 SOLUÇÃO: cilindros
calculamos a massa e os momentos de inércia de cada componente em relação aos eixos x,y e z: cilindros

42 Problema Resolvido 9.12 prisma (a = 5 cm, b = 15 cm, c = 5 cm):
Somamos os momentos de inércia dos componentes para determinar os momentos de inércia totais para a peça:

43 Momento de Inércia em Relação a um Eixo Arbitrário
IOL = momento de inércia em relação ao eixo OL. Expressando em termos dos componentes retangulares e expandindo o produto vetorial temos, A definição dos produtos de inércia de um corpo é uma extensão da definição do produto de inércia de uma superfície

44 Elipsóide de Inércia. Eixos Principais de Inércia
Vamos assumir que o momento de inércia de um corpo foi determinado em relação a um grande número de eixos OL e que um ponto Q foi plotado sobre cada eixo a uma distância de O. O lugar geométrico dos pontos Q forma uma superfície conhecida como elipsoide de inércia que define o momento de inércia do corpo em relação a qualquer eixo que passe por O. Os eixos x’, y’ e z’ são os eixos principais de inércia, para os quais os produtos de inércia são zero e os momentos de inércia são os momentos principais de inércia.