Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

Apresentação em tema: "Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas"— Transcrição da apresentação:

1 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas

2 Coordenadas Polares Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares é usado para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões.

3 Relação entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas

4 Coordenadas Cilíndricas
Em três dimensões, há uma sistema de coordenadas, chamado coordenadas cilíndricas que é análogo às coordenadas polares e dá a descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente. Como veremos, algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas.

5 Coordenadas Cilíndricas

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7 Exemplo 1 Um sólido está contido no cilindro abaixo do plano e acima do parabolóide (veja a figura). A densidade em qualquer ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de

8 Exemplo 1

9 Exemplo 1 Em coordenadas cilíndricas, O cilindro é O parabolóide é Então podemos escrever Função densidade

10 Exemplo 1

11 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas

12 Coordenadas Esféricas
Outro sistema de coordenadas tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas. Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas e cones.

13 Coordenadas Esféricas

14 Coordenadas Esféricas
O sistema de coordenadas esféricas é útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto.

15 Relação entre Coordenadas esféricas e retangulares

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17 Conversão Para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações Para converter de coordenadas retangulares para esféricas, usamos a equação

18 Integrais Triplas em coordenadas esféricas

19 Exemplo 1 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone e pela esfera (veja a figura).

20 Exemplo 1

21 Exemplo 1

22 Solução Note que a esfera passa pela origem e tem centro em Escrevemos a equação da esfera em coordenadas esféricas como

23 Solução A equação do cone pode ser escrita como Isto dá ou
Logo, a descrição do sólido em coordenadas esféricas é

24 Solução

25 Solução

26 Exemplo 2 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone e pela esfera (veja a figura).

27 Exemplo 2