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Aula 25 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas.

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1 Aula 25 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas

2 Coordenadas Esféricas Outro sistema de coordenadas tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas. Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas e cones.

3 Coordenadas Esféricas

4 O sistema de coordenadas esféricas é útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto.

5 Exemplo

6

7

8 Relação entre Coordenadas esféricas e retangulares

9 Conversão Para converterde coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações Para converterde coordenadas retangulares para esféricas, usamos a equação

10 Exemplo 1 O ponto é dado em coordenadas esféricas. Marque o ponto e encontre suas coordenadas retangulares. Solução:

11 Exemplo 1 Logo, o ponto em Coordenadas retangulares é

12 Exemplo 2 O ponto está dado em coordenadas retangulares. Encontre coordenadas esféricas para este ponto.

13 Exemplo 2 Da equação temos logo

14 Exemplo 2 Obs: Logo, as coordenadas esféricas do ponto dado são

15 Integrais Triplas em coordenadas esféricas Nesse sistema de coordenadas à caixa retangular é uma cunha esférica onde

16 Integrais Triplas em coordenadas esféricas

17 Fórmula para Integração Tripla em coordenadas cilíndricas onde é um cunha esférica dada por

18 Extensão da fórmula A fórmula anterior pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais, como

19 Calcule onde é a bola unitária: Exemplo 3

20 Solução: como a fronteira de é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas: Além disso, as coordenadas esféricas são convenientes, pois

21 Exemplo 3

22 Seria extremamente complicado calcular a integral sem coordenadas esféricas. Com coordenadas retangulares, a integral seria

23 Exemplo 4 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone e pela esfera (veja a figura).

24 Exemplo 4

25

26 Solução Note que a esfera passa pela origem e tem centro em Escrevemos a equação da esfera em coordenadas esféricas como

27 Solução A equação do cone pode ser escrita como Isto dá ou Logo, a descrição do sólido em coordenadas esféricas é

28 Solução

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