A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 3ª Ano Geometria analítica: Equações da circunferência.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 3ª Ano Geometria analítica: Equações da circunferência."— Transcrição da apresentação:

1 Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 3ª Ano Geometria analítica: Equações da circunferência

2 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Neste tópico, estudaremos as equações da circunferência no plano cartesiano. Antes, porém, é importante compreender alguns conceitos de Geometria Plana ou Euclidiana, que veremos a seguir. INTRODUÇÃO

3 CIRCUNFERÊNCIA REVISANDO Raio (r): distância do centro a qualquer ponto da circunferência. Circunferência Diâmetro = 2r. O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Centro (C) MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Corda: distância (segmento) entre dois pontos da circunferência.

4 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência DIFERENÇA ENTRE CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA REVISANDO Circunferência não tem área. Ex.: anel. Círculo Ex.: moeda. Comprimento da circunferência (C = 2 r) Área do círculo Ac = r²

5 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

6 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Considere no plano cartesiano uma circunferência de centro C (a, b), raio r e um ponto qualquer da circunferência P(x, y), como mostra a figura a seguir: P(x, y) C(a, b) r x a b x y Note que, ao localizar o ponto P(x, y) e o centro C(a, b), formamos um triângulo retângulo. O raio (r) da circunferência é a hipotenusa desse triângulo retângulo. y

7 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência REVENDO O TEOREMA DE PITÁGORAS a b c Hipotenusa a. É o maior lado do triângulo retângulo. Cateto c. Cateto b. Teorema de Pitágoras: a² = b² + c² REVISANDO

8 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Na circunferência, temos o triângulo retângulo de raio r, cateto (x – a) e cateto (y – b). Dessa forma, ao aplicarmos o Teorema de Pitágoras, encontramos a equação reduzida da circunferência. r (x – a) (y – b) Pelo Teorema de Pitágoras, temos: Equação reduzida da circunferência. (x – a)² + (y – b)² = r²

9 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. S1) Considerando a equação da circunferência (x - 2)² + (y + 5)² = 16, determine o centro e o raio dessa circunferência.

10 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência SOLUÇÃO Vamos comparar a equação reduzida da circunferência com a equação da situação proposta. (x – a)² + (y – b)² = r² (x – 2)² + (y + 5)² = 16 - a = -2. (-1) a = 2 - b = +5. (-1) b = -5 r² = 16 r = 4 Conclusão Essa circunferência possui C(2, -5) e r = 4.

11 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. S2) Escreva a equação reduzida da circunferência que tem centro C(-3, 6) e raio r = 5.

12 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência SOLUÇÃO A equação reduzida da circunferência é da forma (x – a)² + (y – b)² = r². Como o centro é C(-3, 6) e o raio é r = 5, vamos substituir os valores do centro e do raio nessa equação. (x – a)² + (y – b)² = r² (x – (-3))² + (y – 6)² = 5² (x + 3)² + (y – 6)² = 25 Conclusão A equação reduzida da circunferência é (x + 3)² + (y – 6)² = 25.

13 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA

14 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Antes de determinarmos a equação geral da circunferência, vamos relembrar a regra dos produtos notáveis: o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos. REVISANDO (a + b)² = a² + 2ab + b²(a – b)² = a² - 2ab + b² Quadrado da diferença de dois termos. Quadrado da soma de dois termos.

15 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXEMPLO: Calcule os produtos notáveis a seguir. REVISANDO a) (a – 2)² b) (b + 3)² = a² - 2. a. 2 + 2² = a² - 4a + 4. = b² + 2. b. 3 + 3² = b² + 6b + 9. RESPOSTAS

16 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência Para determinar a equação geral da circunferência, utilizaremos a equação reduzida da circunferência (x – a)² + (y – b)² = r² e resolveremos os produtos notáveis: quadrado da diferença de dois termos. (x – a)² + (y – b)² = r² x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r² x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0 Equação geral da circunferência.

17 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. S1) Escreva a equação geral da circunferência, que tem centro C(-1, 2) e raio r = 3.

18 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência SOLUÇÃO S1) Vamos utilizar a equação reduzida e substituir o centro C(-1, 2) e o raio r = 3. Em seguida, vamos resolver os produtos notáveis. (x – a)² + (y – b)² = r² (x – (-1))² + (y – 2)² = ( 3)² (x + 1)² + (y – 2)² = ( 3)² x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 3 x² + y² + 2x – 4y+ 4 + 1 - 3 = 0 Conclusão: x² + y² + 2x – 4y+ 2 = 0 Equação geral da circunferência.

19 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA. S2) A equação x² + y² - 6x + 8y + 5 = 0 representa uma circunferência. Determine as coordenadas do centro e o raio.

20 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência SOLUÇÃO S2) Vamos comparar a equação da situação com a equação geral da circunferência. x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0 x² + y² - 6x + 8y + 5 = 0 -2a = -6. (-1) a = 3 -2b = 8 b = -4 a² + b² - r² = 5 (3)² + (-4)² - r² = 5 9 + 16 – r² = 5 r² = 20 r = 20=2 5 Conclusão C(3, -4) e r = 2 5.

21 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1º) Determine as coordenadas do centro C(a, b) e o raio r das circunferências de equação: a) ( x – 5) ² + (y + 6) ² = 8 b)x ² + (y – 4) ² = 25 C(5, -6) e r = 8=2 2 C(0, 4) e r = 5 RESPOSTAS

22 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2º) Determine a equação reduzida da circunferência de centro (2, 5) e raio igual a 3. RESPOSTA (x – 2)² + (y – 5)² = 9

23 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 3º) Escreva a equação geral da circunferência de centro C (-1, -2) e de raio 4. RESPOSTA x² + y² + 2x + 4y – 11 = 0

24 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 4º) Verifique entre os pontos A(-1, 3), B(-1, 2), C(- 2, 3) e D(7, 2) quais pertencem à circunferência de equação (x – 3)² + (y + 1)² = 25. RESPOSTA B e D

25 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 5º) Escreva a equação geral da circunferência, representada pelo gráfico a seguir. RESPOSTA x² + y² - 64 = 0 0 x y -8

26 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência PROBLEMAS DE VESTIBULARES 1º) (FEI-SP) Quais são o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² = 2(x – y) + 1? RESPOSTA C(1, -1) e r = 3

27 MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência PROBLEMAS DE VESTIBULARES 2º) (UFRS) A equação da circunferência de diâmetro AB, com A (3, 1) e B (1, -3), é: a) x 2 + y 2 + 4x – 2y – 15 = 0 b) x 2 + y 2 – 4x + 2y – 15 = 0 c) x 2 + y 2 – 4x + 2y = 0 d) x 2 + y 2 + 4x + 2y = 0 e) x 2 + y 2 – 2x + 4y = 0 RESPOSTA

28 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005. IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 3ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004. GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003. PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999. MATEMÁTICA, 3º Ano Geometria analítica: equações da circunferência


Carregar ppt "Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 3ª Ano Geometria analítica: Equações da circunferência."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google