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Cálculo II Aula 08: Valores Máximos e Mínimos, Valores Máximos e Mínimos Absolutos.

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1 Cálculo II Aula 08: Valores Máximos e Mínimos, Valores Máximos e Mínimos Absolutos.

2 Definição Uma função de duas variáveis tem máximo local em em (a,b) se para (x,y) próximo de (a,b). O número f (a,b) é um chamado valor máximo local. Se para (x,y) próximo de (a,b), então f (a,b) é um valor mínimo local.

3 Máximo e mínimo absoluto Se as inequações da definição anterior valerem para todos os pontos (x,y) do domínio de f, então f tem máximo absoluto ( ou mínimo absoluto) em (a,b)

4 Graficamente

5 Se uma função f tem um máximo ou mínimo local em (a,b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos, então e

6 Pontos críticos Um ponto (a,b) é dito ser um ponto crítico (ou ponto estacionário) de f se e, ou uma das derivadas parciais não existir.

7 Exemplo 1 Determine os pontos críticos de

8 Exemplo 2 Determine os valores extremos de

9 Teste da derivada segunda Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas em uma vizinhança de (a,b), e suponha que f x (a,b) = 0 e f y (a,b) = 0. Seja

10 Exemplo 3 Determine os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela de

11 Exemplo 3

12 Exercício 4 p. 959 Utilize as curvas de nível da figura para predizer a localização dos pontos críticos de f e se f tem um ponto de sela ou um máximo ou mínimo locais em cada um desses pontos. Explique seu raciocínio. Em seguida empregue o Teste da Segunda Derivada para confirmar suas predições.

13 Exercício 4 p. 959

14 Exemplo 4 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m 2 de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa.

15 Exemplo 4

16 Idéia de conjunto fechado

17 Valor extremo Se f for contínua em um conjunto fechado e limitado D de 2, então f atinge um valor máximo e um valor mínimo absoluto. Procedimento: 1.Determine os valores de f nos pontos críticos de f no interior de D. 2.Estabeleça os valores extremos de f na fronteira de D. 3.O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

18 Exemplo 5 Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função no retângulo.

19 Exemplo 5

20 Material disponível em


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