Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas

Apresentação em tema: "Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas"— Transcrição da apresentação:

1 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas

2 Coordenadas Esféricas
Outro sistema de coordenadas tridimensionais útil é o sistema de coordenadas esféricas. Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas e cones.

3 As coordenadas esféricas (𝜌,𝜃,∅) de um ponto P no espaço são mostradas na figura 1 a seguir, onde 𝜌=|0P| é a distância da origem a P, 𝜃 é o mesmo ângulo que nas coordenadas cilíndricas e ∅ é o ângulo entre o eixo z positivo e o segmento de reta OP.

4 Coordenadas Esféricas

5 Coordenadas Esféricas
Observe que quando ∅=0, o ponto P estará sobre o eixo positivo dos z e quando ∅=∏, sobre o eixo negativo do z. O sistemas de coordenadas esféricas é especialmente útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto.

6 Coordenadas Esféricas
Por exemplo, a esfera com centro na origem e raio c tem equação simples, 𝜌=𝑐, essa é a razão do nome “coordenadas esféricas”.

7 Coordenadas Esféricas
O gráfico da equação θ=𝑐 é um semiplano vertical e a equação ∅=𝑐 representa um semicone com o eixo z como seu eixo. OBS. Alguns livros dão coordenadas esféricas na ordem com 𝜃 𝑒 ∅ invertidos (𝜌,∅,𝜃) e alguns casos r sendo usado para 𝜌. Cuidado com isso.

8 Exemplo

9 Exemplo

10 A relação entre coordenadas esféricas e retangulares pode ser vista na figura a seguir. Dos triângulos OPQ e OPP’ temos, 𝑧=𝜌𝑐𝑜𝑠∅, 𝑟=𝜌𝑠𝑒𝑛 ∅ Mas, 𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,𝑦=𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 de modo que as equações que relacionam as coordenadas esféricas e retangulares são:

11 Relação entre Coordenadas esféricas e retangulares

12 Conversão Para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações Para converter de coordenadas retangulares para esféricas, usamos a equação

13 Exemplo 1 O ponto é dado em coordenadas esféricas. Marque o ponto e encontre suas coordenadas retangulares. Solução:

14 Exemplo 1 Logo, o ponto em Coordenadas retangulares é

15 Exemplo 2 O ponto está dado em coordenadas retangulares. Encontre coordenadas esféricas para este ponto.

16 Exemplo 2 Da equação temos logo

17 Exemplo 2 Obs: Logo, as coordenadas esféricas do ponto dado são

18 Integrais Triplas em coordenadas esféricas
Nesse sistema de coordenadas a caixa retangular é uma cunha esférica onde

19 Integrais Triplas em coordenadas esféricas

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21 Fórmula para Integração Tripla em coordenadas cilíndricas
onde é um cunha esférica dada por

22 Extensão da fórmula A fórmula anterior pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais, como

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24 Exemplo 3 Calcule onde é a bola unitária:

25 Exemplo 3 Solução: como a fronteira de é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas: Além disso, as coordenadas esféricas são convenientes, pois

26 Exemplo 3

27 Exemplo 3 Seria extremamente complicado calcular a integral sem coordenadas esféricas. Com coordenadas retangulares, a integral seria

28 Exemplo 4 Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone e pela esfera (veja a figura).

29 Exemplo 4

30 Exemplo 4

31 Solução Note que a esfera passa pela origem e tem centro em Escrevemos a equação da esfera em coordenadas esféricas como

32 Solução A equação do cone pode ser escrita como Isto dá ou
Logo, a descrição do sólido em coordenadas esféricas é

33 Solução

34 Solução