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MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10. TC023 - Mecânica Geral II - Estática © 2004-2013 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos  Desenvolver um método.

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1 MECÂNICA - ESTÁTICA Momentos de Inércia Cap. 10

2 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos  Desenvolver um método para a determinação do momento de inércia de uma área.  Introduzir o produto de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia máximo e mínimo de uma área.  Discutir o momento de inércia de massa.

3 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Definição de Momentos de Inércia de Áreas O centróide de um corpo é obtido pelo cálculo do primeiro momento de área: O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo momento de área:

4 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 4 Um exemplo onde o momento de inércia é utilizado: A figura mostra a pressão p de um líquido atuando na superfície de uma placa submersa Definição de Momentos de Inércia de Áreas

5 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 5 Para os momentos de inércia de uma área qualquer: J O é o segundo momento de área em torno do ponto O ou do eixo z, chamado momento polar de inércia: 10.1 Definição de Momentos de Inércia de Áreas

6 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 6 Determine o momento de inércia da área triangular em torno dos eixos: (a) x (b) y Problema 10.A

7 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 7 dy x y Problema 10.A - Solução

8 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 8 dx x y Problema 10.A - Solução

9 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 9 O momento de inércia de uma área em relação a um eixo (x e y) é igual ao momento de inércia desta área em relação ao eixos paralelos passando pelo centróide (C) da área (x´ e y´) mais o produto da área (A) pelo quadrado da distância entre os eixos (d x ou d y ) Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área

10 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Teorema dos Eixos Paralelos para uma Área

11 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 11 Determine o momento de inércia da área retangular mostrada com relação a: (a) eixo centroidal x´ (b) eixo x b passando pela base do retangulo (c) polo ou eixo z´  ao plano x´- y´ passando pelo centróide C. Exemplo 10.1

12 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 12 Exemplo 10.1

13 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 13 C dx´ x´x´ Exemplo 10.1

14 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 14 As vezes o elemento infinitesimal de área não está orientado paralelamente ao eixo para o qual se calcula o momento de inércia. Nesse caso pode ser usado o teorema dos eixos paralelos (quando esta orientação é vertical) ou simplesmente usar a expressão correta do diferencial do momento de inércia e integrar Momentos de Inércia de uma Área por Integração

15 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 15 Problema 10.8 Determine o momento de ínércia da área da figura em relação aos eixos: (a) x (b) y

16 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 16 (x,y) y=y/2 dx y Problema Solução

17 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 17 (x,y) y=y/2 dx y Problema Solução

18 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 18 (x,y) y=y/2 dx y Problema Solução

19 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 19 O raio de giração de uma área plana possui a unidade do comprimento sendo um valor muito usado para o projeto de pilares 10.3 Raio de Giração de uma Área

20 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 20 Determine o raio de giração da área mostrada em relação ao eixo y. Problema 10.B

21 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 21 dx y x Problema 10.B - Solução

22 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 22 dx y x Problema 10.B - Solução

23 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 23 Um corpo composto consiste de um conjunto de corpos de formas simples. Um corpo pode ser dividido em partes. O momento de inércia de um corpo composto é igual a soma algébrica dos momentos de inércia de suas partes Momentos de Inércia de Área Compostas

24 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 24 Determine o centro de gravidade e o momento de inércia da área mostrada em relação aos: (a) eixo x (b) eixo y Problema 10.34

25 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 25 I = I 1 - I 2 - I 3 I x = (I x ) 1 – (I x ) 2 – (I x ) 3 I y = (I y ) 1 – (I y ) 2 – (I y ) 3 = Problema Solução

26 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 26 A = A 1 - A 2 - A 3 x g = (A 1 x g1 – A 2 x g2 – A 3 x g3 ) / A y g = (A 1 y g1 – A 2 y g2 – A 3 y g3 ) / A = Problema Solução

27 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 27 1 x y 10 in 6 in 5 in 3 in Problema Solução

28 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 28 2 x y 6 in 3 in 8 in 5 in Problema Solução

29 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR 29 3 raio (r) = 2 in 4 in 3 in x y Problema Solução

30 TC023 - Mecânica Geral II - Estática © Curotto, C.L. - UFPR Problema Solução


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