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MECÂNICA - DINÂMICA Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido: Força e Aceleração Cap. 17.

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1 MECÂNICA - DINÂMICA Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido: Força e Aceleração Cap. 17

2 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2 Objetivos Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral

3 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 3 17.1 Momento de Inércia Movimento de translação: F = m a Movimento de rotação: M = I onde I é o momento de inércia. O momento de inércia é uma resistência do corpo à aceleração angular enquanto que a massa mede a resistência do corpo à aceleração

4 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 4 17.1 Momento de Inércia O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo momento de massa em relação a um eixo: r é o braço de momento ou a distância perpendicular do eixo considerado até o elemento de massa dm.

5 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 5 17.1 Momento de Inércia Para um corpo de densidade variável, dm = dV e: E para constante:

6 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 6 Exemplo 17.1 Determine o momento de inércia do cilindro mostrado em relação ao eixo z. Considere a densidade do material constante.

7 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 7 Exemplo 17.1 - Solução Usando o elemento de casca cilíndrica:

8 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 8 Exemplo 17.1 - Solução

9 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 9 17.1 Momento de Inércia Teorema dos Eixos Paralelos onde: I G = momento de inércia em torno do eixo z passando pelo centro de massa G m = massa do corpo d = distância perpendicular entre os dois eixos

10 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 10 17.1 Momento de Inércia Raio de Giração Observe-se a semelhança com a equação do diferencial do momento de inércia:

11 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 11 17.1 Momento de Inércia Corpos compostos Usa-se o Teorema dos Eixos Paralelos Portanto para uma somatória de corpos:

12 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 12 Exemplo 17.3 Determine o momento de inércia da placa em relação ao eixo z perpendicular a placa passando pelo ponto O. A placa possui densidade constante de 8000 kg/m 3 e espessura 10 mm.

13 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 13 Exemplo 17.3 - Solução A placa consiste de duas partes, um disco sólido e um furo: Portanto para uma somatória de corpos:

14 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 14 Exemplo 17.3 - Solução Disco:

15 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 15 Exemplo 17.3 - Solução Furo:

16 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 16 Exemplo 17.3 - Solução Placa:

17 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 17 Objetivos Introduzir os métodos utilizados para calcular o momento de inércia de massa de um corpo Desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico Discutir aplicações destas equações para corpos em movimento de translação, rotação em torno de um eixo fixo e movimento plano geral

18 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 18 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Nosso estudo será restrito para corpos rígidos que possuem simetria em relação a um plano de referência. Assim todas as forças (e momentos) atuantes no corpo poderão ser projetadas neste plano e o movimento a ser estudado será planar.

19 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 19 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Translação: Esta equação define que a soma de todas as forças atuantes no corpo é igual a massa do corpo vezes a aceleração do seu centro de massa G.

20 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 20 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação Planar do Movimento de Translação:

21 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 21 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Diagrama cinético da partícula Diagrama de corpo livre da partícula

22 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 22 16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo Movimento do Ponto P Resumo:

23 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 23 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Desenvolvendo o produto vetorial, usando os componentes cartesianos do momento e aceleração:

24 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 24 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação Integrando sobre toda a massa do corpo:

25 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 25 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: M P representa somente momentos externos desde que os momentos internos se anulam.

26 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 26 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: A primeira integral é a ordenada do centro de massa vezes a massa

27 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 27 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: segunda integral é a coordenada do centro de massa vezes a massa

28 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 28 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: A terceira integral é o momento de inércia de massa do corpo.

29 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 29 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação:

30 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 30 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação: Se o ponto P coincide com o centro de massa G: ou seja: a soma de todos os momentos externos atuantes no corpo, calculados em relação ao centro de massa G é igual ao produto da aceleração angular do corpo pelo momento de inércia em relação a um eixo que passa por G.

31 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 31 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação escrita em função do momento de inércia em relação ao centro de massa G: Diagrama cinético Diagrama de corpo livre

32 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 32 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Equação do Movimento de Rotação escrita de uma forma geral em função do momento cinético:

33 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 33 17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano Resumo:

34 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 34 Problema 17.A 0.25 1.00 2.00 1.20 0.30

35 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 35 Problema 17.A - Solução 0.25 1.00 2.00 1.20 0.30 Diagrama de Corpo Livre BXBX AXAX AYAY PC PE g=9.81 m/s 2 a=4 m/s 2 CG x CG

36 TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 36 Problema 17.A - Solução


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