5COP096 Teoria da Computação

5COP096 Teoria da Computação
Aula 7 Prof. Dr. Sylvio Barbon Junior Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Ordenação Interna Ordenação Externa
Sumário Ordenação Ordenação Interna Ordenação Externa Sylvio Barbon Jr –

Sylvio Barbon Jr – barbon@uel.br
Ordenação A ordenação é um dos bons exemplos da resolução de problemas utilizando computador. A maioria dos métodos de ordenação é baseada em: Distribuição (Ordenação Digital, Radixsort ou Bucketsort): Não existe comparação entre chaves, sendo o principal problema associado a memória, uma vez que cada grupo exige memória extra. Exemplos: ordenar Cartas de Baralho, classificar cartões perfurados, distribuição de correspondências por bairro/rua etc. O custo para ordenar elementos é da ordem de O(n), pois cada elemento é manipulado algumas vezes. Comparação (maioria dos métodos): Utilizam normalmente uma chave e serão estudados detalhadamente. Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Exemplo de Ordenação por Distribuição Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Um método de ordenação é dito estável, se a ordem relativa dos itens com chaves iguais mantém-se inalterada pelo processo de ordenação. Exemplo: Se uma lista alfabética de nomes de funcionários de uma empresa é ordenada pelo campo salário, então um método estável produz uma lista em que os funcionários com mesmo salário aparecem em ordem alfabética Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Os métodos de ordenação são classificados em dois grupos: Ordenação Interna: Quando o arquivo a ser ordenado cabe todo na memória principal. Exemplo: Quando o número de registros a ser ordenado é pequeno o bastante para caber em um array de Java. Ordenação Externa: Quando o arquivo não cabe na memória principal, e por isso deve ser armazenado em outros dispositivos, por exemplos fitas ou discos. - A principal diferença seria a necessidade de lidar com os registros de forma sequencial para o caso de Ordenação Externa. Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Trata principalmente o tempo gasto comparando as chaves e movimentações de itens avaliados, assim vamos utilizar a seguinte notação: C(n) – Comparações entre as chaves; M(n) – Movimentações entre os itens; n – Quantidade de itens. - Algoritmos is situ (in place) são métodos que utilizam permutações entre os itens do próprio vetor, não precisando de memória extra. Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Distribuição Ordenação Comparação Interna Externa Método Eficientes Método Simples Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Os métodos internos são classificados em: - Métodos Simples, são adequados para pequenos arquivos e requerem O(n²) comparações, são programas pequenos, fáceis de entender com simplicidade nos seus princípios. - Métodos Eficientes, são aqueles para arquivos maiores e requerem O(n log n) comparações, comparações complexas como a implementação. Considerando Ordenação Interna, serão estudados: 1) Ordenação por Seleção (Selectionsort); 2) Ordenação por Inserção (Insertionsort); 3) Shellsort; 4) Quicksort; 5) Heapsort; Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Selectionsort (Ordenação por Seleção) - É um dos métodos mais simples; C(n) = n²/2 – n/2 M(n) = 3(n-1) Aspectos negativos: - O fato do arquivo estar ordenado não auxilia em nada; - O algoritmo não é estável, pois ele nem sempre mantém os registros com chaves iguais na mesma posição relativa. Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Insertionsort (Ordenação por Inserção) - A partir de i=2, o i-ésimo item da sequência é transferido para a sequência de destino, sendo inserido no local correto. Os itens maiores são movidos para a direita e inserido o item na posição vazia deixada. - O método é estável. - Registro sentinela marca o registro avaliado. Melhor Caso C(n) = n-1 M(n) = 3(n-1) Caso Médio C(n) = n²/4+3n/4-1 M(n) = n²/4+11n/4-3 Pior Caso C(n) = n²/2+n/2-1 M(n) = n²/2+5n/2-3 O número mínimo ocorre quando os itens já estão organizados; O número máximo de comparações ocorrem quando o arquivo está na ordem inversa. Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Shellsort - Foi proposto em 1959 como uma extensão do algoritmo de ordenação por inserção, contornando as trocas separados por h posições. - O método não é estável. - A sua análise contém problemas matemáticos complexos, e uma analise formalizada ainda não foi realizada. - O tempo de execução é sensível à ordem inicial. C(n) = O(n(ln n)²) Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Shellsort vs Insertionsort Insertionsort: Eficiente quando os itens estão quase ordenados Shellsort: Opção com separações h Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Quicksort - Foi publicado em 1962 e é o algoritmo mais rápido e mais utilizado para ordenação. - Utiliza um pivô para particionamento e comparação. - Sua ineficiência aparece quando o arquivo já está ordenado e o pivô escolhido não é adequado. Porém isso pode ser evitado com pequenos ajustes no código. - Os aspectos negativos são: a versão recursiva tem pior caso quadrático de operações, a implementação é muito delicada e o método não é estável. Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Quicksort Melhor Caso C(n) = O(n log n) Caso Médio C(n) = O(n log n) Pior Caso C(n) = O(n²) Para evitar o pior caso do algoritmo, recomenda-se utilizar como o item divisor com valor mais próximo da mediana de três valores quaisquer do arquivo. Sylvio Barbon Jr –

Ordenação Interna Heapsort
- É semelhante ao Selectionsort, onde são feitas trocas com o primeiro item da lista. - O custo n para encontrar o menor item da fila pode ser reduzido utilizando estruturas de dados como a fila por prioridade. - Não é estável. - Não é recomendado para arquivos com poucos registros, devido ao tempo para construir o heap. - Em média o Quicksort é duas vezes mais rápido do que o Heapsort. - Heapsort é melhor que o Shellsort para grandes arquivos. Melhor Caso C(n) = O(n log n) Caso Médio C(n) = O(n log n) Pior Caso C(n) = O(n log n)

Ordenação Interna Heapsort

Ordenação Interna Comparação entre os métodos Métodos Simples O (n2)
É melhor em diversos tamanhos, comparando os métodos simples Pior caso para elementos decrescentes e mais rápido para elementos ordenados (O(n)) Métodos Simples O (n2) Selectiosort Insertionsort Mais simples São constantes para todos os tamanhos (heapsort, maislento) Mais rápido Métodos Eficientes O( n log n) Shellsort Quicksort Heapsort Shellsort é mais rápido que o Heapsort para listas pequenas. Analiticamente sem formalização, mas considerado eficiente

Ordenação Interna Comparação entre os métodos e sua ordem inicial
Método interessante para arquivos com menos de 20 elementos A vantagem é o número de movimentos, assim adequado para arquivos grandes. Métodos Simples O (n2) Selectiosort Insertionsort Sensível à ordenação, mais rápido quando ordenado. Métodos Eficientes O( n log n) Shellsort Quicksort Heapsort Sensível à ordenação, executa mais rápido para elementos ordenados Não é sensível a ordenação, porém 10% mais lento quando estiver ordenado

Ordenação Externa A ordenação externa envolve arquivos compostos por um número de registros que é maior do que a memória interna do computador pode armazenar. Restrição: O registro pode ser acessado somente em um dado momento. Diferenças com Ordenação Interna: O custo para acessar o dado é maior do que o custo para processá-lo. Restrições Severas de acesso aos dados, por exemplo, os dados em uma fita magnética só podem ser acessados sequencialmente. Em um disco magnético o acesso direto é mais custoso do que o acesso sequêncial. Alta dependência da tecnologia.

Ordenação Externa A grande ênfase deve ser na minimização do número de vezes que cada item é transferido entre as memórias. A maioria dos métodos de Ordenação Externa utilizam a estratégia de: É realizada uma varredura na memória externa, “quebrando-a” em blocos compatíveis com a memória interna. Os blocos são intercalados, fazendo várias leituras sobre o arquivo, criando blocos ordenados cada vez maiores. Os métodos que serão estudados são: Intercalação Balanceada de Vários Caminhos; Seleção por Substituição; Intercalação Polifásica; Quicksort Externo;

Ordenação Externa 1- Intercalação Balanceada de Vários Caminhos
Considerando o seguinte arquivo com 22 registros: Considerando que a memória interna tem apenas espaço para 3 registros. Os registros são escritos nas fitas 1, 2 e 3. I N T E R C A L O B D I N T E R C A L O B D Fita 1 I N T A C O A D E Fita 2 C E R A B L A Fita 3 A L A C N

O processo é repetido até formar novos conjuntos inseridos em novas fitas. Fita 1 Fita 2 Fita 3 Fita 4 I N T C E R A L A I C A Memória Interna

Os registros serão intercalados, o primeiro registro de cada fita é transferido para M.I. e o menor é retirado da fita, dando lugar ao próximo elemento da mesma. Fita 1 I N T A C O A D E Intercalação 1 Fita 2 C E R A B L A Fita 3 A L A C N A C E I L N R T Fita 4 A Fita 5 A B C L N O Memória Interna Fita 7 Intercalação 2 Fita 6 A D E

P(n) = logf n/m Ordenação Externa
1- Intercalação Balanceada de Vários Caminhos Considere um arquivo contendo n registros, f fitas e uma memória interna de m palavras. Dessa forma é possível encontrar a Função de Complexidade P, sendo P(n) o número de intercalações. P(n) = logf n/m No exemplo anterior P(n) = log3 22/3 = 2 Um arquivo com 1 bilhão de palavras e com uma memória de 2 milhões de palavras, utilizando quatro fita, obtemos P(n) = 5.

Ordenação Externa 2- Seleção por Substituição
É uma implementação semelhante à intercalação balanceada com o acréscimo de uma abordagem de filas por prioridade, implementadas por um heap. Exemplo: R A P Z E 1 2 3 A R P Z A R P Z

Ordenação Externa 3- Intercalação Polifásica
Um dos problemas com a Intercalação Balanceada pode ser a necessidade de utilizar um grande número de fitas para garantir a sua operação. O método Intercalação Polifásica elimina a necessidade de cópias adicionais pois distribui os blocos ordenados por meio de uma seleção desigual. Exemplo. Passo 1 I N T R E C A L O B D I N R T A C E L A B C L O Fita 1 Fita 2 A C E N A D

Passo 2 - Intercala-se para a Fita 3, deixando a Fita 2 livre. Passo 3 - Intercala-se a Fita 1 e Fita 3 na Fita 2, deixando a Fita 1 livre. Fita 1 A B C L O Fita 2 Fita 3 A C E I N R T A C D E L Fita 1 Fita 2 A B C E I L N O R T Fita 3 A C D E L

Passo 4 - Intercala-se para a Fita 3, deixando a Fita 2 livre. A intercalação polifásica é ligeiramente melhor do que a intercalação balanceada para valores pequenos de fitas (f), para f > 8 a intercalação balanceada pode ser mais rápida. Fita 1 A B C D E I L N O R T Fita 2 Fita 3

Ordenação Externa 4- Quicksort Externo
Proposto em 1980, utiliza o paradigma divisão e conquista, sendo a versão in situ para ordenação de registros. O algoritmo utiliza memória interna em O(log n), não sendo necessário memória externa (além da que armazena os registros). A complexidade de melhor caso é O(n/b), sendo b é o tamanho do bloco de leitura e gravação sistema operacional. A complexidade de pior caso é O(n²/tamArea), sendo tamArea o número de registros que podem ser armazenados na memória interna. A complexidade de médio caso é O(n/b log(n/tamArea)), segundo o trabalho de Monard(1980) este é o caso com maior probabilidade de ocorrer.

Exercícios 1 – Monte uma tabela com as características de melhor caso, pior caso, caso médio, sensibilidade de ordenação, influência de n e estabilidade para os algoritmos: Selectionsort, Insertionsort, Shellsort, Heapsort, Quicksort, Intercalação Balanceada, Seleção por Substituição, Intercalação Polifásica e Quicksort Externo. 2- Entregue um resumo do artigo “Quicksort Externo”, de Fabiano Cupertino Botelho e Ligiane Alves de Souza.

Referências Ziviani, Nivio. Projeto de algoritmos: com implementações em Java e C. Thomson Learning, 2007. Leiserson, Charles E., Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to algorithms. Ed. Thomas H. Cormen. The MIT press, 2001.

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