MATEMÁTICA.

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1 MATEMÁTICA

2 MATEMÁTICA PARA COMPREENDER O MUNDO
Kátia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz 2º ano ensino médio

3 Unidade 2 – Estatística, contagem e probabilidade
Nessa unidade: Estatística – A linguagem da estatística Contagem – Princípio fundamental da contagem Representação de dados estatísticos (Tabelas e gráficos) Permutações, arranjos, fatorial e combinações Estudo da probabilidade – A linguagem das probabilidades Distribuição de frequências Frequência absoluta acumulada e frequência relativa acumulada Probabilidade Probabilidade de não ocorrer um evento Medidas de tendência central Probabilidade da união de eventos Agrupamento de classes Probabilidade condicional Representação gráfica das frequências de intervalos de classes Probabilidade da interseção de eventos

4 Capítulo 4 – Estatística
A linguagem da estatística Dados estatísticos números utilizados para descrever e representar fatos observados. População conjunto de elementos a serem observados. Indivíduo todo elemento da população. Variável característica ou propriedade que será estudada, ou observada, na população. Variável quantitativa quando os valores tomados são numéricos (discretas: esses números só podem assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável de elementos; contínuas: os números podem assumir qualquer valor em um certo intervalo). Variável qualitativa exprime uma qualidade ou atributo.

5 Capítulo 4 – Estatística
REPRESENTAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS Podemos representar dados estatísticos por meio de tabelas e de gráficos. Tabela As tabelas resumem um conjunto de observações em um quadro. Alguns elementos importantes em uma tabela é o título (fornece informações sobre o que está sendo representado), o cabeçalho (especifica o conteúdo das colunas) e a fonte (indica de onde foram coletados os dados).

6 Capítulo 4 – Estatística
Gráfico de barras horizontais Gráfico de barras verticais (colunas) Os gráficos em barras são geralmente utilizados para comparar diferentes variáveis ou diferentes valores numa mesma variável. Fonte: assistindo-tv-confirma-pesquisa-de-midia—da-secom.com Acesso em: 19 fev

7 Capítulo 4 – Estatística
Gráfico em setores No gráfico em setores, destaca-se a relação entre os diversos valores da variável e o total da população. Gráfico em linha O gráfico em linha é utilizado para representar o crescimento ou decrescimento de uma variável quantitativa. Fonte: l/noticia/2010/10/popula cao-brasileira-deve- atingir-pico-em-2030— diz-ipea.html Acesso em: 19 fev. 2016 A soma de todos os ângulos centrais de todos setores envolvidos é 360°.

8 Capítulo 4 – Estatística
Amostra Uma amostra é um subconjunto finito de uma população, sendo que o número de indivíduos da amostra é menor que o da população. Distribuição de frequências Frequência absoluta e frequência relativa Frequência absoluta de um acontecimento é o número de vezes que ele é observado e representamos por f. Frequência relativa de um acontecimento é a razão entre a sua frequência absoluta e o número de elementos da população e representamos por fr.

9 Capítulo 4 – Estatística
FREQUÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA E FREQUÊNCIA RELATIVA ACUMULADA A frequência absoluta acumulada até certo dado em uma distribuição de frequência é a soma da frequência absoluta desse dado com a frequência absoluta dos dados anteriores e representamos por fa. A frequência relativa acumulada de um dado é a razão entre a frequência absoluta acumulada até esse dado e a frequência absoluta acumulada do total de dados e representamos por fra. Exemplo Desempenho dos estudantes na prova

10 Capítulo 4 – Estatística
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Moda de um conjunto de valores é o elemento que ocorre mais frequentemente dentro desse conjunto e o representamos por Mo. Em uma sequência de dados pode ser que aconteça de nenhum elemento aparecer com maior frequência que outro. Dizemos que, nesse caso, a sequência é amodal. Podemos também ter uma sequência bimodal, trimodal, etc. Mediana de um conjunto finito de valores, dispostos em ordem crescente ou decrescente de grandeza, é o valor central, se o conjunto tiver um número ímpar de elementos ou é a média aritmética dos dois valores centrais, se o conjunto tiver um número par de elementos e a representamos por Me. Média aritmética de um conjunto de números é o valor que se obtém dividindo a soma dos seus elementos pelo número de elementos do conjunto. Representamos a média aritmética por

11 Capítulo 4 – Estatística
Agrupamento de classes Sempre que em uma coleta de dados quantitativos para uma amostra há uma grande variedade de valores, é preciso agrupar os valores da variável para analisar as informações. Os intervalos de classe são representados pelo símbolo ˫, que indica que apenas o limite inferior está incluído na classe representada. O limite superior de uma classe deve ser igual ao limite inferior da classe seguinte. A tabela seguinte apresenta o tempo (em dias) de gestação de 42 mamíferos.

12 Capítulo 4 – Estatística
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS FREQUÊNCIAS DE INTERVALOS DE CLASSE Histograma é um gráfico formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. As larguras das bases dos retângulos são iguais às amplitudes dos intervalos de classe e as alturas correspondem às frequências de cada classe. Polígono de frequência é um gráfico de linha no qual as frequências são marcadas sobre retas perpendiculares ao eixo horizontal, traçadas por pontos médios dos intervalos de classe.

13 Capítulo 5 - Contagem Princípio fundamental da contagem Se um acontecimento A1 pode ocorrer de m1 maneiras diferentes, para cada maneira de A1 ocorrer, um acontecimento A2 pode ocorrer de m2 maneiras diferentes e, para cada maneira de A1 e A2 ocorrem, um acontecimento A3 pode ocorrer de m3 maneiras diferentes; então o número de maneiras diferentes de ocorrerem A1, A2 e A3 é: m1 ⋅ m2 ⋅ m3 O mesmo se aplica a dois ou mais acontecimentos. Exemplo Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de três algarismos distintos podemos formar? Resolução Temos cinco possibilidades para a centena, quatro para a dezena e três para a unidade. 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 possibilidades.

14 Capítulo 5 - Contagem PERMUTAÇÃO Permutação simples de n elementos distintos é todo agrupamento ordenado formado por esses n elementos. O número de permutações de n elementos é dado por: Pn = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ (n − 3) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 Arranjos Arranjos simples de n elementos distintos, p a p é todo agrupamento ordenado formado por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. An,p = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ … ⋅ [n – (p – 1)] Uma permutação é um caso particular de arranjo quando n = p: Pn = An,n

15 Capítulo 5 - Contagem Fatorial
Em alguns problemas de análise combinatória, surgem com frequência expressões do tipo: 1 ⋅ 2 ⋅ 3 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 Uma forma de exprimir todos esses produtos é usar o fatorial, indicado por um ponto de exclamação (!) ao lado do número. Veja: 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 4! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 5! Generalizando: Para n ∈ ℕ, n ≥ 1, temos: n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ⋅, ⋅ (n − 1) ⋅ n Podemos escrever também: n! = n ⋅ (n − 1)! ou n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2)! e assim por diante.

16 FATORIAL E OS ARRANJOS E PERMUTAÇÕES
Capítulo 5 - Contagem FATORIAL E OS ARRANJOS E PERMUTAÇÕES Com o símbolo de fatorial, podemos reescrever as fórmulas que permitem obter o número de permutações de n elementos e o número de arranjos de n elementos tomados p a p. Pn = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n! Considere também que: 0! = 1 Importante Exemplo

17 Capítulo 5 - Contagem COMBINAÇÕES SIMPLES Combinação simples de n elementos distintos, p a p (p ≤ n), é todo agrupamento formado por p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados, de modo que a mudança de ordem dos elementos não modifique o agrupamento e a representamos por: Cálculo do número de combinações simples Exemplo:

18 Capítulo 6 – Estudo da probabilidade
A linguagem das probabilidades Experimento aleatório, espaço amostral e evento Experimento aleatório é todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis. Espaço amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos os resultados possíveis desse experimento. Notação: S. Evento é todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório. Todo subconjunto unitário de S é denominado evento simples ou elementar. Chamamos S de evento certo e ∅ de evento impossível.

19 Capítulo 6 – Estudo da probabilidade
Seja um evento A de espaço amostral finito S (não vazio). A probabilidade de ocorrer o evento A é a razão entre o número de elementos de A e o número de elementos de S. Indicando por n(A) o número de elementos de A, n(S) o número de elementos de S e P(A) a probabilidade de ocorrer A, temos que: Consequência: 0 ≤ P(A) ≤ ou 0% ≤ P(A) ≤ 100% A probabilidade é uma medida de tendência, e não de certeza. Por exemplo, no lançamento de um dado honesto, a tendência de sair o número 1 é 1 : 6, mas não se pode garantir que isso realmente ocorra.

20 Capítulo 6 – Estudo da probabilidade
PROBABILIDADE DE NÃO OCORRER UM EVENTO Probabilidade da união de eventos A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é igual à probabilidade de ocorrer A mais a probabilidade de ocorrer B menos a probabilidade de ocorrer A e B. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Se A e B são conjuntos disjuntos, isto é, A ∩ B = ∅, A e B são ditos mutuamente exclusivos e: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

21 Capítulo 6 – Estudo da probabilidade
Probabilidade condicional Sejam A ≠ ∅ e B ≠ ∅ eventos de um mesmo espaço amostral S. A probabilidade de ocorrência de A condicionada a B (notação P(A | B)) é o número dado por: Chamamos essa relação de probabilidade condicional. Probabilidade da interseção de eventos Se dois eventos, A e B, que ocorrem em um mesmo espaço amostral, são independentes entre si (a ocorrência de um não influi na ocorrência do outro), a probabilidade de ocorrência de A e B é igual ao produto das probabilidades de cada um dos eventos. P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)