Fundamentos de Estatística Professora Melina Lima Aula 5 Características Numéricas de uma Distribuição de Frequências: Medidas de Posição Parte 2 Média,

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1 Fundamentos de Estatística Professora Melina Lima Aula 5 Características Numéricas de uma Distribuição de Frequências: Medidas de Posição Parte 2 Média, Mediana e Moda Melinasl_mel@hotmail.com

2 Média Aritmética Dados agrupados Sem Intervalos de Classe Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada.

3 Média Aritmética Dados agrupados Sem Intervalos de Classe ixifi 102 216 3210 4312 544

4 Média Aritmética Dados agrupados Sem Intervalos de Classe ixifi xi. fi 1020 2166 321020 431236 54416 ∑fi=34∑xi. f i= 78

5 Com intervalos de classe Convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio (onde x i é o ponto médio da classe). Média Aritmética Dados agrupados

6 IEstaturas(cm) fi 1 150 |- 154 4 2 154 |- 158 9 3 158 |- 162 11 4 162 |- 166 8 5 166 |- 170 5 6 170 |- 174 3 Média Aritmética Dados agrupados Com intervalos de classe

7 IEstaturas(cm) fixi 1 150 |- 154 4 152 2 154 |- 158 9 156 3 158 |- 162 11 160 4 162 |- 166 8 164 5 166 |- 170 5 168 6 170 |- 174 3 172 ∑fi=40 Média Aritmética Dados agrupados Com intervalos de classe

8 IEstaturas(cm) fixixi. fi 1 150 |- 154 4 152 608 2 154 |- 158 9 156 1404 3 158 |- 162 11 160 1760 4 162 |- 166 8 164 1312 5 166 |- 170 5 168 840 6 170 |- 174 3 172 516 ∑fi=40∑xi. f i= 6440 Média Aritmética Dados agrupados Com intervalos de classe

9 Mediana Chamamos de mediana o elemento do conjunto que ocupa a posição central na distribuição ordenada (crescente ou decrescente). Isto é, divide a distribuição em duas partes iguais de modo que 50% dos valores observados são inferiores ao valor mediano e 50% superiores a esse valor.

10  Mediana Se n é ímpar Dado o conjunto {23,34,48,49,51,51,76}

11 Mediana Se n é par Dado o conjunto {23,34,48,51,51,76}

12 Mediana A mediana é uma medida de posição resistente, pois é pouco afetada por mudanças de pequena porção dos dados, ao contrário da média aritmética que é sensível a valores atípicos.

13 Mediana Comparação entre a Média aritmética e a Mediana para os conjuntos de salários (em reais) dados. Podemos observar que no caso do conjunto Y a média não sintetiza adequadamente o conjunto de dados, pois apenas um valor é superior a ela.

14 Mediana Dados agrupados sem intervalos de classe I(xi)fi 102 216 3210 4312 544 Completamos a tabela de distribuição acrescentando a coluna da frequência acumulada.

15 Mediana Dados agrupados sem intervalos de classe I(xi)fiFi 1022 2168 321018 431230 54434  =34 Agora identificamos a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. Neste caso a Fi imediatamente superior é 18, que corresponde ao valor 2 da variável. Logo, Md= 2

16 Mediana Dados agrupados sem intervalos de classe I(xi)fiFi 11211 21423 31525 41616 51728 620412  =12

17 Mediana Dados agrupados com intervalos de classe I(xi)fiFi 1150|-15444 2154|-158913 3158|-1621124 4162|-166832 5166|-170537 6170|-174340  40 A classe correspondente é 158|-162 (Classe Mediana) A classe que tem freq. acumulada imediatamente acima de 20 é 24

18 Mediana Dados agrupados com intervalos de classe Usamos a seguinte fórmula para calcular a mediana: l inf =158 limite inferior da Classe Mediana, nesse caso 158|-162 Fant=13 freq. Acumulada anterior à Classe Mediana h =4 amplitude da Classe Mediana f =11 frequência absoluta da Classe Mediana onde,

19 Mediana Dados agrupados com intervalos de classe I(xi)fiFi 10|-1011 210|-2034 320|-30913 430|-40720 540|-50424 650|-60226  26 A classe correspondente é 20|-30 (Classe Mediana) Na tabela temos uma freq. acumulada também igual 13 A mediana é o limite superior dessa classe Md= 30

20 Emprego da Mediana Empregamos a mediana quando: -desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais; -há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média; -a variável em estudo é salário.

21 Moda A moda é outra medida de posição, mas diferentemente das médias, não utilizam em seu cálculo todos os valores do conjunto de dados analisado. A moda é o valor que ocorre com maior frequência no conjunto de dados.

22 Moda a) X = {2, 3, 3, 7, 7, 7, 8, 9} Exemplos b) Y = {6, 11, 14, 23, 41} c) Z = {3, 3, 8, 8, 12, 12} d) W = {10, 11, 11, 11, 13, 13, 15, 16, 16, 16, 21}  Mo = 7  Mo = não existe (distribuição é amodal)  Mo = não existe  A distribuição apresenta dois valores modais:11 e 16 (distribuição bimodal).

23 Para determinar a moda basta fixar o valor da variável de maior freqüência. I(xi)fi 102 216 3210 4312 44 Moda Dados agrupados sem intervalos de classe  Mo=3

24 Moda Quando a distribuição de frequências está organizada por classes de valores, devemos identificar a classe modal (classe em que observamos a maior frequência). Dados agrupados com intervalos de classe

25 Moda Para calcular a moda é usando a fórmula de Czuber: Dados agrupados com intervalos de classe l i : limite inferior da classe modal D 1 :diferença entre a freq. da classe modal e a freq. da classe anterior a ela. D 2 :diferença entre a freq. da classe modal e a freq. da classe posterior a ela. h:amplitude da classe modal

26 Usando a fórmula de Czuber: Classesfifi 2,25  2,75 7 2,75  3,25 15 3,25  3,75 16 3,75  4,25 17 4,25  4,75 14 4,75  5,25 4 5,25  5,75 6 5,75  6,25 1 3,75|-4,25 é a classe de maior frequência Mo=3,875   Moda Dados agrupados com intervalos de classe 

27 Emprego da moda A moda é utilizada: -quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição; -quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.

28 Características Principais das Medidas de Tendência Central Media AritméticaMedianaModa Vantagens No cálculo da média participam todos os valores observados Define exatamente o centro da distribuição, mesmo qdo os valores se distribuem assimetricamente em torno da media É uma medida que tem existência real dentro do conjunto de dados É uma medida de fácil interpretação e presta-se muito bem a tratamentos estatísticos adicionais Pode ser determinada mesmo qdo não se conhece todos os valores do conjunto de dados Não exige cálculo, é apenas uma contagem É uma medida que sempre existe, é rígida e unicamente determinada. É uma medida que sempre existe e é rígida e única. É um valor típico de um conjunto de dados. Podendo substituir todos os valores de um conjunto sem alterar o total. É uma medida resistente, ou seja, não sofre influência de valores discrepantes É um pto de equilíbrio da distribuição, sendo tão mais eficiente qto mais simétrica for a distribuição de valores ao seu redor. Desvantagem É uma medida não resistente, ou seja, sofre influência de valores discrepantes É uma medida que não se presta a cálculos matemáticos Deixa sem interpretação os outros valores do conjunto de dados que não são iguais a ela

29 Exercício 1 1) Uma pesquisa sobre a idade (em anos), de uma classe de calouros do curso de Computação de certa faculdade, revelou os seguintes valores: 1717171818 1818181818 1818181818 1819191919 1919191919 1919191919 1919192020 2020202020 2021212121 Construa uma distribuição de frequência e em seguida determine a média, a mediana, a moda e desvio padrão das idades.

30 Distribuição A Satisfação do Cliente fi fi 0 ├ 2 2 ├ 4 4 ├ 6 6 ├ 8 8 ├ 10 2 4 9 15 7  f i = 37 2. Considere a seguinte distribuição, que representa a satisfação do cliente em relação ao atendimento ao usuário, calcule a média, a mediana e a moda: Exercício 2

31 Exercício 3 3. Considere o gráfico, que representa a estatura de 40 estudantes. Construa uma distribuição de freqüência e calcule: Média, mediana e moda.

32 Respostas