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Estatística Aula 08 Medidas de posição - Prof. Diovani Milhorim.

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1 Estatística Aula 08 Medidas de posição - Prof. Diovani Milhorim

2 Medidas de posição MODA:(Mo) Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

3 Medidas de posição MODA:(Mo) Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum,isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria.

4 Medidas de posição MODA - Dados não-agrupados: Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição, procurar o valore que mais se repete. A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15. tem moda igual a 10.

5 Medidas de posição MODA - Dados não-agrupados: Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor aparece mais vezes que outros. É o caso da série: 3, 5, 8, 10, 12, 13. Esta série não apresenta moda (amodal).

6 Medidas de posição MODA - Dados não-agrupados: Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dói ou mais valores modais. Na série:2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9. Nesta sérieduas modas: 4 e 7 (bimodal).

7 Medidas de posição MODA - Dados agrupados: Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior freqüência.

8 Medidas de posição MODA – Sem intervalo de classes exemplo Nesta distribuição de freguência a moda corresponde ao valor 3 da variável (maior freguência = 12)

9 Medidas de posição MODA - Com intervalo de classes A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal.

10 Medidas de posição MODA - Com intervalo de classes Damos a esse valor a denominação de moda bruta. Temos então: Mo = ( l* + L*) / 2 Onde: l* é o limite inferior da classe modal L* é o limite superior da classe modal

11 Medidas de posição MODA - Com intervalo de classes Para a distribuição abaixo: vamos calcular a moda

12 Medidas de posição MODA - Com intervalo de classes Temos que a classe modal é i = 3, l* = 158 e L* = 162 Como: Mo = l* + L* / 2 Vem: Mo = / / 2 =160 Logo: Mo = 160 cm.

13 Medidas de posição MODA - Com intervalo de classes Exercício: Complete o esquema para o cálculo da moda da distribuição de freqüência

14 Medidas de posição MODA - Emprego da Moda: A moda é utilizada: a) Quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição; b) Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.

15 Medidas de posição MEDIANA (Md) A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

16 Medidas de posição MEDIANA (Md): Dados não-agrupados: Dada uma série de valores, como por exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9. De acordo com a definição, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores. 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18. Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda Temos então que: Md = 10

17 Medidas de posição MEDIANA (Md): Dados não-agrupados: Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio. Assim, a série de valores: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21. Tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12. Logo: Md = ( )/ 2 = 22/2 = 11 onde: Md = 11

18 Medidas de posição MEDIANA (Md): Dados não-agrupados: Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o numero de elementos da série, o valor mediano será: o termo de ordem (n + 1) / 2, se n for ímpar; a média aritmética dos termos de ordem n/2 e n/2 +1, se for par.

19 Medidas de posição MEDIANA (Md): Dados agrupados: Se os dados se agrupam em uma distribuição de freqüência, o cálculo da mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-agrupados, simplicando, porém, a determinação prévia das freqüências acumuladas. Ainda aqui, temos que determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos.

20 Medidas de posição MEDIANA (Md): Dados agrupados: Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos é dada por: f i / 2

21 Medidas de posição MEDIANA (Md): Sem intervalo de classe: Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.

22 Medidas de posição MEDIANA (Md): Sem intervalo de classe: Exercicio: Calcule a mediana nº de defeitos (x i )nº de máquinas (f i )

23 Medidas de posição MEDIANA (Md): com intervalo de classe: A classe mediana é aquela em que a frequência relativa acumulada atinge os 50%. O valor exato da mediana pode calcular-se utilizando uma regra de três simples, admitindo que as observações se distribuem uniformemente pela amplitude da classe. h = amplitude da classe da mediana li = limite inferior da classe que deve conter a mediana fc = freguência da classe que deve conter a Mi Mi = mediana fa[1-i] =freguência acumulada anterior da classe que deve conter a mediana

24 Medidas de posição MEDIANA (Md): com intervalo de classe: Exercicio: Determine a mediana da freguência abaixo:


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