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1 ESTATÍSTICA. 2 UDI - ESTATÍSTICA DESCRITIVA Ass 04: SEPARATRIZES E MODA ESTATÍSTICA.

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1 1 ESTATÍSTICA

2 2 UDI - ESTATÍSTICA DESCRITIVA Ass 04: SEPARATRIZES E MODA ESTATÍSTICA

3 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Calcular as principais separatrizes; Calcular a Moda Bruta; Interpretar as principais separatrizes; Calcular a moda de DF pelos critérios de Czuber e Pearson; Comparar graficamente os valores da Média, da Mediana e da Moda; Utilizar-se de dados estatísticos na tomada de decisão.

4 4 SUMÁRIO 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e 6 - Uso do Computador

5 5 1 - SEPARATRIZES São os valores da variável aleatória que dividem a série ORDENADA de dados em partes IGUAIS. Mediana (Md) Quartis (Q i i = 1, 2 e 3) Decis (D i i = 1, 2,..., 9) Percentis ou Centis (P i = C i i = 1, 2,..., 99) PRINCIPAIS SEPARATRIZES

6 6 Mediana 50% Md = 7,5 Q1Q1 25% Q3Q3 Q 2 = 7,5 Q 1 = 3,75Q 3 = 11,25 Q 3 = P 75 Q 1 = P 25 Q 2 = P 50 = Md = D 5 Suponha o fenômeno em um rol (crescente), representado por esta régua milimetrada.

7 7 1,68 m1,69 m1,72 m1,76 m1,78 m1,79 m 1,81 m E md = 4 o Mediana = 1,76 m Qual a altura mediana do grupo de 7 pessoas com essas alturas?

8 8 1,68 m 1,69 m1,72 m 1,76 m 1,78 m 1,79 m E md = 3 o ou 4 o ?Mediana = ? Qual a altura mediana do grupo de 8 pessoas com essas alturas?

9 9 SUMÁRIO 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e 6 - Uso do Computador

10 Cálculo das Separatrizes 2.b - Cálculo para dados em classes. 2.a - Cálculo para dados brutos. Duas são as rotinas de cálculo:

11 11 2.a - Cálculo para dados brutos O cálculo, neste caso, é baseado na separatriz Percentil. Para a obtenção dos valores numéricos correspondentes às demais separatrizes, aplicam-se as correspondências entre elas e os Percentis. Ex: Md = P 50 ; Q 3 = P 75 ; D 2 = P 20 ;....

12 12 2.a - Cálculo para dados brutos A rotina de cálculo baseia-se na figura abaixo: Ordem na série Posição % 1 o 2 o x o n o 100 % p% 0%

13 13 2.a - Cálculo para dados brutos Ordem na série Posição % 1 o 2 o x o n o 100 % p% 0%

14 14 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o Exemplo 1: Calcule a Mediana das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79 ; 1,81} Posição % 100 % 0% Ordem na série E md = x o = 4 o Md = 1,76 50 %

15 15 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o Exemplo 2: Calcule a Mediana das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79} Posição % 100 % 0% Ordem na série E md = x o = 3,5 o Md = (1,72 + 1,76)/2 = 1,74 m 50 %

16 16 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o Exemplo 3: Calcule Q 3 das alturas {1,64 ; 1,69 ; 1,72 ; 1,76 ; 1,78 ; 1,79} Posição % 100 % 0 % Ordem na série E Q3 = x o = 4,75 o Q 3 = 1,76 + 0,75 (1,78 - 1,76) = 1,775 m 75 %

17 17 2.b - Cálculo p/dados em classes O cálculo, neste caso, é baseado na Hipótese Básica da Tabulação. Para a obtenção dos valores numéricos correspondentes às separatrizes, são feitas interpolações lineares dentro da classe identificada como possuidora do valor da ordem desejada.

18 18 Ex. 1: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Mediana. 1) E md = 45/2 = 22,5 o 2) Classe da Mediana: 71 | 83 3) Será o (22,5 - 17) = 5,5 o valor da classe 22 __ 12 kg ( ) 5,5 __ x kg 4) Md = 71 + x = 74 kg

19 19 Fórmula Genérica S p = valor procurado para a separatriz k = número de ordem da classe da separatriz l k = limite inferior da classe da separatriz h k = amplitude da classe da separatriz p = posição (ordem) do elemento separatriz r = razão de divisão da separtriz n = total de observações Onde

20 20 Fórmula Genérica p/ Quartis (Q i i = 1, 2 e 3) r = i / 4 p/ Decis (D i i = 1, 2,... e 9) r = i / 10 p/ Percentis (P i i = 1, 2,... e 99) r = i / 100 p/ Mediana (Md) r = 1 / 2

21 21 Ex. 2: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Md e o P 82 usando a fórmula genérica 1) Md p= 45/2 = 22,5 k = 3 2) P 82 p= 0,82 x 45 = 36,9 k = 3

22 22 SUMÁRIO 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e 6 - Uso do Computador

23 Mediana (Md) É o valor do meio da série ordenada. Divide a série em duas partes, sendo maior (ou igual) que uma metade dos valores e menor (ou igual) à outra metade. Já sabemos que a Md: Mas tem mais

24 Mediana (Md) Divide o histograma em duas áreas iguais Média = ( ) / 5 = 10 Md = 6

25 25 Média = ( ) / 5 = 30 Md = 6 Na presença de valores discrepantes (muito altos ou muito baixos), torna-se mais representativa que a média

26 26 SUMÁRIO 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e 6 - Uso do Computador

27 Moda (Mo) Moda de uma série de dados é o valor que ocorre com maior freqüência. OBS: A Moda pode não existir e, existindo pode não ser única. Em virtude disto, a série pode ser classificada quanto a Moda em: AMODAL, UNIMODAL, BIMODAL ou MULTIMODAL.

28 Moda (Mo) 4.a - Moda para dados brutos: Neste caso a Moda é obtida por observação direta da série ou com o uso de planilhas eletrônicas (para grandes massas de dados). X = { 2, 3, 4, 4, 6, 18 } Y = {3, 3, 4, 4, 6,18 } Z = { 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6 } Mo = 4 (Unimodal) Mo = 3 e 4 (Bimodal) Amodal Exemplos:

29 Moda (Mo) 4.b - Moda para dados em classes: Neste caso a Moda só pode ser obtida através de aproximações. As mais conhecidas aproximações são: Moda Bruta (Mo B ) Moda de Czuber (Mo cz ) Moda de Pearson (Mo P )

30 30 4.b - Moda para dados em classes: Moda Bruta (Mo B ) Moda de Pearson (Mo P ) É a aproximação mais rudimentar. A Moda é admitida como sendo o ponto médio da classe com maior freqüência (classe modal). É uma aproximação restrita aos fenômenos moderadamente assimétricos, que são os que têm 3 0,05.

31 31 Moda Czuber (Mo CZ ) É a aproximação mais elaborada. Leva em consideração as classes vizinhas à classe modal. 1 2 Mo onde: 2 = F k - F k + 1 k = ordem da classe modal 1 = F k - F k -1

32 32 Ex. 1: Para o extrato de DF abaixo, calcule a Moda Bruta e a de Czuber. Moda Bruta (Mo B ) Mo B = ( )/2 = 77 kg Moda Czuber (Mo CZ ) Mo cz = 75 kg

33 33 SUMÁRIO 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e 6 - Uso do Computador

34 Comparação entre Mo, Md e Simétrica Mo = Md = Assimétrica Negativa Mo > Md > Assimétrica Positiva Mo < Md <

35 35 SUMÁRIO 1 - Separatrizes 2 - Cálculo das Separatrizes 3 - Mediana 4 - Moda 5 - Comparação entre Mo, Md e 6 - Uso do Computador

36 Uso do Computador O que o Excel pode fazer por você:

37 Uso do Computador O que o Excel pode fazer por você:

38 38 Exemplo de uso das funções do Excel

39 39 PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS BOA SORTE!


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