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maior concentração O estudo que fizemos sobre distribuições de frequências, até agora, permite-nos descrever, de modo geral, os grupos de valores que.

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2 maior concentração O estudo que fizemos sobre distribuições de frequências, até agora, permite-nos descrever, de modo geral, os grupos de valores que uma variável pode assumir. Podemos localizar a maior concentração de valores, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou ainda, se há uma distribuição por igual. tendências características elementos típicos da distribuição Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números, que nos permitam traduzir essas tendências. Esses conceitos são denominados elementos típicos da distribuição e são: 1. Medidas de posição; 2. Medidas de variabilidade ou dispersão; 3. Medidas de assimetria; 4. Medidas de curtose.

3 parâmetros numéricos Na verdade esses elementos típicos da distribuição são parâmetros numéricos que podem fornecer informações sobre uma dada população. Em nosso estudo vamos priorizar: 1. Medidas de tendência central – MÉDIA, MODA e MEDIANA; 2. Medidas de separatrizes – MEDIANA, DERCIL, QUARTIL, PERCENTIL; 3. Medidas de dispersão – DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA, DESVIO PADRÃO e o COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.

4 valor em torno do qual os elementos do grupo se encontrem (MÉDIA) Uma forma de descrever um grupo como um todo, utilizando uma única representação deste grupo é se servir de um valor em torno do qual os elementos do grupo se encontrem (MÉDIA). elemento que mais se repete (MODA) Outra maneira de realizar esta tarefa é escolher o elemento que mais se repete (MODA) neste grupo. elemento central (MEDIANA) Pode-se também organizar de forma crescente os elementos de grupo em questão e utilizar o elemento central (MEDIANA) como representante típico.

5 somam-se os n valores e divide-se o resultado por n; só pode ser usada para dados quantitativos; pode ser sempre calculada e é única; é sensível a todos os valores do conjunto; representa um ponto de equilíbrio/centro de gravidade: a soma dos desvios dos números, a contar da média é 0. tem-se também as médias ponderada, geométrica e harmônica. Média Aritmética é o quociente da soma dos valores da variável pelo quantidade de valores somados:

6 EXEMPLO 1: Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, qual a média diária de produção durante essa semana?

7 EXEMPLO 2: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcule a média dessa distribuição. Nº de Meninos fi fi Total

8 Neste caso, calculamos a média ponderada, em que além de levarmos em conta os valores da variável, também incluímos no cálculo a frequência com que cada um deles aparece na distribuição. Nº de Meninos fi fi Total

9 EXEMPLO 3: Consideremos a distribuição relativa a 40 estaturas. Calcule a média dessa distribuição. ESTAT. (cm) Freq. (f i ) Total

10 Neste caso, calculamos a média ponderada, apenas com a observação de que cada intervalo passa a ser representado pelo seu ponto médio. ESTATURA (cm) Freq. (f i ) Total

11 Quando desejamos obter uma medida de posição que possui a maior estabilidade; Quando houver necessidade de um tratamento algébrico posterior; Quando houver a necessidade de se adotar um valor representativo do conjunto de forma que este valor seja sensível a todos os demais (todos entram no cálculo da média);

12 salário modal Por exemplo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria. é o valor de maior freqüência, aquele que mais se repete; existem distribuições bimodais, com 3 modas, etc.; nem sempre é única; quando todos os valores ocorrem com freqüências semelhantes, a moda nada acrescenta à descrição; Quando lidamos com dados não agrupados, a moda é facilmente reconhecida, de acordo com a definição, basta procurar o valor que mais se repete.

13 EXEMPLO 4: Qual a moda da série de dados 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15? EXEMPLO 5: Qual a moda da série de dados 3, 5, 8, 10, 12, 13, 14, 17, 19, 21? EXEMPLO 6: Qual a moda da série de dados 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9?

14 EXEMPLO 7: Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcule a moda dessa distribuição. Nº de Meninos fi fi Total Cuidado! O que buscamos não é a maior frequência, mas sim, o valor da variável que tem a maior frequência.

15 EXEMPLO 8: Consideremos a distribuição relativa a 40 estaturas. Calcule a moda dessa distribuição. ESTAT. (cm) Freq. (f i ) Total Neste caso, primeiro identificamos a classe de maior frequência, a classe modal, depois calculamos o seu ponto médio, esse valor será a moda (também chamada de moda bruta).

16 Para o cálculo da moda de distribuição de dados com intervalos de classe, há métodos mais elaborados, que nos dão valores mais exatos, como é o caso do FÓRMULA DE CZUBER. Também neste caso, primeiro temos que achar a classe modal (de maior frequência) l i : limite inferior da classe modal h : amplitude da classe modal f i : frequência da classe modal f ant : frequência da classe anterior à classe modal f post : frequência da classe posterior à classe modal

17 EXEMPLO 9: Consideremos a distribuição relativa a 40 estaturas. Calcule a moda dessa distribuição. ESTAT. (cm) Freq. (f i ) Total Classe modal: 152 a 158.

18 EXEMPLO 10: Calcule a moda da distribuição: Classe modal: 55 a 65. O escore com maior número de alunos foi o 61 pontos.

19 Quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição; Quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição;

20 A Mediana é definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando dispostos segundo uma ordem. divide um conjunto ordenado de dados em dois grupos de igual quantidade: de um lado, valores maiores, de outro, menores; pode ser sempre calculada e é única; é insensível aos valores extremos do conjunto; para número par de dados a mediana é a média entre os dois valores centrais. Quando lidamos com dados não agrupados, a mediana é facilmente reconhecida, basta, de acordo com a definição, colocar os valores da variável em ordem e identificar aquele que fica no centro.

21 EXEMPLO 10: Qual a mediana da série de dados 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9? EXEMPLO 11: Qual a mediana da série de dados 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21?

22 Nesse caso devemos determinar previamente as FREQUÊNCIAS ACUMULADAS, e após, determinar um valor tal que divida a distribuição de frequências em dois grupos que contenham o mesmo número de elementos. Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por: Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada onde está incluso o valor equivalente a metade da soma das frequências, e valor seguinte a esse número encontrado.

23 EXEMPLO 12) Calcule a mediana da distribuição abaixo. Primeiro vamos determinar as frequências acumuladas. Nº de Meninos fi fi Total Nº de Meninos fi fi FiFi Total- O valor encontrado (17) está incluso na classe 3 (valor da variável 2) e o seguinte também.

24 No caso de existir uma frequência acumulada (F i ), tal que: Ou seja, o valor que corresponde à metade da soma cai numa classe, e o valor seguinte a ele cai noutra classe, a mediana será dada por: Isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a essa frequência acumulada e o seguinte.

25 EXEMPLO 13) Calcule a mediana da distribuição abaixo. Primeiro vamos determinar as frequências acumuladas. xixi fi fi Total xixi fi fi FiFi Total- Esse valor (4) cai na classe 3 e o seguinte (5) na classe 4.

26 Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana. Para tanto, temos inicialmente que determinar a classe na qual se acha a mediana – CLASSE MEDIANA. Essa classe será aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a: Depois de identificarmos a classe mediana, o próximo passo é definir em que ponto dessa classe está a mediana. Para isso, valor adotar a seguinte fórmula:

27 Onde: l i : limite inferior da classe mediana; F ant : frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; f i : frequência simples da classe mediana; h : amplitude do intervalo da classe mediana;

28 EXEMPLO 14: Consideremos a distribuição relativa a 40 estaturas. Calcule a mediana dessa distribuição. ESTAT. (cm) Freq. (f i ) Total

29 ESTAT. (cm) Freq. (f i ) FiFi Total Classe mediana: 152 a % dos alunos possuem estatura máxima de 154 cm.

30 EXEMPLO 15: A tabela abaixo representa os escores (pontuação) obtidos por um grupo de 58 alunos, matriculados em uma determinada disciplina.

31 Classe mediana: 55 a % dos alunos possuem escore máximo de 61,67 pontos.

32 Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais; Quando há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média; A variável em estudo é salário.


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