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Informática Teórica Engenharia da Computação. Autômatos Finitos Equivalência entre AFNs e AFDs Autômatos finitos determinísticos e não- determinísticos.

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1 Informática Teórica Engenharia da Computação

2 Autômatos Finitos Equivalência entre AFNs e AFDs Autômatos finitos determinísticos e não- determinísticos reconhecem a mesma classe de linguagens. Autômatos finitos determinísticos e não- determinísticos reconhecem a mesma classe de linguagens. Duas máquinas são equivalentes se elas reconhecem a mesma linguagem. Duas máquinas são equivalentes se elas reconhecem a mesma linguagem. Teorema: Todo autômato finito não-determinístico tem um autômato finito determinístico equivalente. Teorema: Todo autômato finito não-determinístico tem um autômato finito determinístico equivalente.

3 Equivalência entre AFNs e AFDs Vamos converter um AFN em um AFD equivalente que o simule. Vamos converter um AFN em um AFD equivalente que o simule. Se k é o número de estados do AFN, ele tem 2 k subconjuntos de estados. Se k é o número de estados do AFN, ele tem 2 k subconjuntos de estados. Cada subconjunto corresponde a uma das possibilidades de que o AFD tem que se lembrar, portanto o AFD que simula o AFN terá 2 k estados. Cada subconjunto corresponde a uma das possibilidades de que o AFD tem que se lembrar, portanto o AFD que simula o AFN terá 2 k estados.

4 Equivalência entre AFNs e AFDs 2 a a a,b 3 {1} {2} {1,2,3} {2,3} {1,3} {1,2} {3} (Q,,,q 0, F) N (Q,,,q 0, F) ( (Q),,, q o, F) M ( (Q),,, q o, F) 1 Q= (Q) q 0 = {1} F = { R Q | R contem um estado de aceitação de N} ab 1{1,2}{1} 2{3} 3 a b a b a b ab {1}{1,2}{1} {1,2}{1,2,3}{1} {1,2,3} {1} (R,s)= união de (q,s) para cada q R. (R,s)= união de (q,s) para cada q R.

5 Equivalência entre AFNs e AFDs Introduzindo as transições Equivalência entre AFNs e AFDs Introduzindo as transições 3 2 a a 1 a,b ab 1 {2}{3} 2{2,3}{3} 3{1} b (Q,,,q 0, F) N (Q,,,q 0, F) ( (Q),,, q o, F) M ( (Q),,, q o, F) q 0 = {1,3} Para qualquer estado R de M definimos E(R) como sendo a coleção de estados que podem ser atingidos a partir de R indo somente ao longo de setas, incluindo os próprios membros de R. Formalmente, para R (Q) seja E(R) = {q |q pode ser atingido a partir de R viajando-se ao longo de 0 ou mais setas } Logo q 0 = E({q 0 }) q 0 = E({1}) q 0 = E({1}) = {1,3}

6 {1} {2} {1,2,3} {2,3} {1,3} {1,2} {3} (Q,,,q 0, F) N (Q,,,q 0, F) ( (Q),,, q o, F) M ( (Q),,, q o, F) b a (R,s)= união de E( (q,s)) para cada q R. (R,s)= união de E( (q,s)) para cada q R. 3 2 a a 1 a,b b a b a b a b b a

7 Autômatos Finitos Equivalência entre AFNs e AFDs Como acabamos de ver: Como acabamos de ver: Teorema: Todo autômato finito não-determinístico tem um autômato finito determinístico equivalente. Teorema: Todo autômato finito não-determinístico tem um autômato finito determinístico equivalente. Logo, Logo, Corolário: Uma linguagem é regular se e somente se algum autômato finito não-determinístico a reconhece. Corolário: Uma linguagem é regular se e somente se algum autômato finito não-determinístico a reconhece.


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