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Algoritmos em Grafos Árvores Geradoras Prof. André Renato 1º Semestre / 2012.

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1 Algoritmos em Grafos Árvores Geradoras Prof. André Renato 1º Semestre / 2012

2 Algoritmos em Grafos Vamos voltar a falar em árvores: Como definir a estrutura de dados árvore? Quais os elementos que compõem uma árvore? Em relação ao número de filhos de cada nó, como podem ser as árvores?

3 Algoritmos em Grafos Se pensarmos nas árvores como grafos acíclicos (sem ciclos) não-direcionados, qual a quantidade de arestas que podemos ter? Qual seria a raiz da árvore?

4 Algoritmos em Grafos No processo de confecção de circuitos eletrônicos, é muito comum precisar fazer com que diversos pinos (partes do circuito) sejam eletricamente equivalentes. Isto equivale a dizer que estes pinos precisam estar conectados entre si, através de fios.

5 Algoritmos em Grafos Deverão ser utilizados n-1 fios, para conectar n pinos. A colocação dos fios deve ser tal que seja gasta a menor quantidade possível de fios. Este problema pode ser modelado através de grafos.

6 Algoritmos em Grafos Os pinos são os vértices; As possíveis conexões entre pinos são as arestas; O peso (custo) associado às arestas é a quantidade de fio necessária para a ligação; Nós desejamos encontrar um subconjunto acíclico de arestas de forma que a soma de todos os custos seja a mínima possível.

7 Algoritmos em Grafos O resultado é uma árvore que conecta todos os vértices, chamada de árvore geradora, uma vez que ela gera o grafo G. O problema é chamado de Problema da Árvore Geradora Mínima (AGM), ou Problema da Árvore Geradora de Custo Mínimo.

8 Algoritmos em Grafos Existem dois algoritmos mundialmente famosos para este problema; Prim; Kruskal; A utilização de um ou de outro vai depender de características do grafo, como sua esparsidade, por exemplo.

9 Algoritmos em Grafos Ambos utilizam a estratégia gulosa de escolher primeiro as arestas de menor custo possível; Em ambos está presente, direta ou indiretamente, a preocupação de não formar ciclos com as escolhas realizadas.

10 Algoritmos em Grafos Algoritmo de Kruskal: A idéia por trás deste algoritmo é ordenar todas as arestas em ordem não-decrescente de peso; Escolher as arestas pela ordem, de forma que possam ser colocadas na resposta sem formar ciclos.

11 Algoritmos em Grafos Colocar as arestas em ordem e armazená-las em uma lista é um problema simples de estrutura de dados. O problema maior está em saber, de forma eficiente, se uma aresta, ao ser colocada na resposta formará ou não um ciclo. Idéias????

12 Algoritmos em Grafos Uma solução simples consiste em guardar um código para cada vértice; Inicialmente, cada vértice possui um código distinto, que pode ser até o número do próprio vértice;

13 Algoritmos em Grafos Se dois vértices são adjacentes na solução do problema, o código dos dois deverá ser o mesmo. Logo, quando uma aresta (v1,v2) for testada, ela poderá ser colocada na resposta se codigo(v1)codigo(v2);

14 Algoritmos em Grafos Quando a aresta for inserida, todos os vértices v que tenham codigo(v) = v1 deverão receber o código v2 ou vice- versa; Um vetor de números inteiros de tamanho n é suficiente para este propósito;

15 Algoritmos em Grafos Antes de explicitar o pseudo-código do algoritmo, vamos a um exemplo gráfico; As arestas em vermelho fazem parte da solução final do problema (árvore geradora mínima); As demais estruturas serão atualizadas conforme as explicações dadas;

16 Algoritmos em Grafos Nó Cod Arestas:

17 Algoritmos em Grafos Nó Cod Arestas:

18 Algoritmos em Grafos Nó Cod Arestas:

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27 Algoritmos em Grafos Nó Cod Arestas:

28 Algoritmos em Grafos Pseudo-código Kruskal: Para cada vértice v: codigo(v) := v; Ordenar as arestas na lista L (não-decrescente); Retirar a aresta (v1,v2) da frente da lista; Se codigo(v1) codigo(v2) então: Inserir a aresta na solução; Para cada vértice v: Se codigo(v) = codigo(v2) então codigo(v) := codigo(v1)

29 Algoritmos em Grafos Qual a complexidade do algoritmo de Kruskal? Para fazer a atualização dos códigos é possível utilizar uma estrutura de dados chamada de heaps de Fibonacci. Com ela, o processo de atualização dos códigos diminui a complexidade para O(lg n);

30 Algoritmos em Grafos O algoritmo de Prim monta a árvore geradora mínima, partindo de um nó previamente estabelecido; Os demais nós vão sendo incorporados de forma a se conectar com a árvore com o menor custo possível;

31 Algoritmos em Grafos Estes nós que ainda não foram incorporados, ficam em uma lista ordenada; A ordenação da lista é feita de acordo com a menor distância que cada vértice tem para a árvore parcial que está sendo montada;

32 Algoritmos em Grafos Nó Dist 0

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42 Algoritmos em Grafos Pseudo-código do algoritmo de Prim: Para cada vértice v: dist[v] := ;* dist[r] := 0; Insere, em uma lista de prioridade L, todos os vértices de acordo com dist[]; Enquanto L não estiver vazia: u := elemento de menor dist[] de L; Para todos os vértices v adjacente a u, que estão em L: Se w(u,v) < dist[v] então dist[v] := w(u,v); //atualizar L*

43 Algoritmos em Grafos Complexidade do algoritmo? Utilizando heaps de Fibonacci, reduz para O(E + V lgV)

44 Algoritmos em Grafos Os resultados dos algoritmos deverão ter o mesmo valor, embora possam apresentar arestas distintas. O algoritmo de Prim utiliza a idéia de escolher um vértice inicial para a geração da árvore. Se o algoritmo for modificado para anotar a qual predecessor os vértices estão associados, é possível obter a árvore geradora de forma mais direta;


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