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Exercícios de Algoritmos Aleatorizados Eduardo Laber.

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Apresentação em tema: "Exercícios de Algoritmos Aleatorizados Eduardo Laber."— Transcrição da apresentação:

1 Exercícios de Algoritmos Aleatorizados Eduardo Laber

2 Exercício 1 Sortear as cores aleatoreamente e derandomizar

3 Exercício 2 E[X]=E[X 1 ]+E[X 2 ]+…+[X ] E[X i ]= 0.99, para i=1,…,80000 E[X i ]=0.01, para i=80001,…, E[X]=79400

4 Exercício 4 A) 1/j + 1/ (j+1) + … + 1/ (n-1) =H(n-1)-H(j- 1) B) X i = 1 se o nó v i não recebe arco e 0 caso contrário. Probabilidade de v i terminar vazio é (i-1)/i. (i)/(i+1) … x (n-2)/(n-1) = (i-1)/(n-1) Somando para todo i, temos n /2

5 Exercício 6 Sorteie uma ordem aleatórea. A probabilidade de uma dada restrição ser satisfeita é 1/3. Portanto, o número esperado de restrições satisfeitas é k/3

6 Exercício7 A) x i e not x i B) Se existe a claúsula x i então sorteie x i =1 com probabilidade 0.6. Se existe a claúsula not x i sorteie x i =0 com probabilidade 0.6. As demais váriáveis sorteie com prob 0.5. Probabilidade de uma clausula falhar é maior ou igual a 1- (0.6) 2

7 Exercício 9 Estratégia. 1.Observe os n/2 primeiros bids e memorize o maior deles, b*. 2. Ao examinar os n/2 últimos bids pare se encontrar um bid maior que b*. Caso contrário pare no último bid. Análise A probabilidade do segundo maior bid ser um dos n/2 primeiros e o maior bid ser um dos n/2 últimos é (n/2) 2 /n(n-1) > ¼. Caso isso aconteça o algoritmo retorna o maior bid.

8 Exercício 10 X =X 1 +…X n X i = 1 se o i-ésimo bid apresentado é atualizado e 0, caso contrario Probabilidade de X i ser atualizado é a probabilidade de X i ser maior que todos os anteriores, ou seja, 1/i. Somando a série temos ln(n)

9 Exercício 11 A) X i =1 if the machine i does not receive any job. E[X i ]=Pr[X i =1]=[(n-1)/n] n =1/e E[X] =E[X 1 ]+…+E[X n ]=n/e E[X]/n=1/e B) X i =número de jobs rejeitados na máquina i Y ij =1 se o job j é rejeitado na máquina i. E[X i ] =E[Y i1 ]+…E[Y in ] Pr[Y ij =1] é a probabilidade do job j ser atribuído a máquina i e algum job com índice menor que j também ser atribuído a máquina i. Pr[Y ij =1]=1/n ( 1 – [(n-1)/n] j-1 ) => E[Y ij =1]=1/n ( 1 – [(n-1)/n] j-1 )

10 Exercício 11 B) O número de jobs rejeitados é igual ao número de máquinas que não recebem jobs

11 Exercício 12 Probabilidade de não ser o corte mínimo é a probabilidade sortear a,d ou d,a =1/6 Fazendo n cópias, a probabilidade de obter o corte mínimo é a probabilidade conseguir em todos = (5/6) n s ta b c d

12 Exercício 12 s t Caso multigrafos não sejam desejados considere a estrutura acima

13 Exercício 13 Pr[X1-X2> c n 1/2 ]= Pr[X 1 > n+(c n 1/2 )/2] X1=X 1,1 +X 1,2 +…+X 1,2n X 1,i = 1 se a i-ésima bola cai no balde 1 e X 1,i = 0, caso contrário Usando o bound de Chernof …


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