Minimização de DFAs.

Apresentação em tema: "Minimização de DFAs."— Transcrição da apresentação:

1 Minimização de DFAs

2 Minimização de DFAs Eliminação e estados inatingíveis
2. “Merge” de estados indistinguíveis

3 Estados Inatingíveis - exemplo
estado inatingível

4 Estados Inatingíveis -algoritmo
reachable_states := {q0} new_states := {q0} while (new_states ≠ the empty set) do temp := for each q in new_states do for each c in Σ do temp := temp ∪ {p | p=δ(q,c)} new_states := temp - reachable_states reachable_states := reachable_states ∪ new_states unreachable_states := Q - reachable_states

5 Equivalência entre estados
O conjunto de estados de um DFA pode ser particionado em classes de equivalência, de acordo com o seu “comportamento” Dois estados q1 e q2 pertencem à mesma classe de equivalência -- são equivalentes -- se, para qualquer palavra w, todos os caminhos com rótulo w a partir de q1 e a partir de q2 levam, em ambos os casos, a um estado final, ou, levam, em ambos os casos, a um estado não final.

6 Classes de Equivalência – Hopcroft (1971)
A partição inicial tem 2 subconjuntos claramente distintos: estados de aceitação e estados de rejeição. O algoritmo repetidamente escolhe um conjunto A da partição corrente e um símbolo c do alfabeto, e divide cada um dos conjuntos da partição em dois subconjuntos (possivelmente vazios): aqueles estados que levam a A, em uma transição sobre c, e aqueles que não levam a A. Como já se determinou previamente que A tem comportamento distinto dos demais conjuntos da partição, subconjuntos que levam a A também têm comportamento diferente daqueles que não levam a A O algoritmo termina quando não se pode mais dividir nenhum conjunto da partição.

7 Estados Indistingíveis - exemplo
Começa com uma partição em 2 classes 05 e Refinamento 1: 12346 → e 6 devido a a Refinamento 2: 05 → 0 e 5 devido a a Refinamento 3: 1234 → 1 e 24 e 3 devido a b 2 e 4 são indistinguíveis

8 Notação Seja Q o conjunto de estados de um DFA e a um símbolo do alfabeto. Sejam B,C ⊆ Q conjuntos de estados. (B · a) = {q’ | δ(q,a)=q’, q ∈B} o pair (C,a) splits o conjunto B se (B · a)∩C ≠ e (B · a)∩(Q-C) ≠

9 Classes de Equivalência – Hopcroft (1971)
P := {F,Fc} -- inicializa partição corrente P for each a∈A do add((min(F,Fc),a),W) -- inicializa conjunto W while W ≠ do (C,a) := some(W) -- escolhe um elemento de W for each B ∈ P split by (C,a) do B′,B′′ := split(B,C,a) substitua B por B′ e B′′ em P for each b ∈ A do if (B,b) ∈ W then substitua (B, b) por (B′, b) e (B′′, b) em W else add((min(B′, B′′), b), W)

10 Exemplo – de novo Inicializa partição P: 05|12346
Conjunto W : (05, a), (05, b) Par escolhido (C,a): (05, a) Conjunto B: Estados que levam a 05: 6 Classe a separar: → 1234|6 Pares a adicionar: (6, a) e (6, b) Classe a separar : 05 → 0|5 Par a adicionar: (5, a) (ou (0, a)) Par a substituir: (05,b) por (0,b) e (5,b) Nova partição P: 0|1234|5|6 Novo conjunto W: (0, b), (6, a), (6, b), (5, a), (5, b)

11 Classes de Equivalência – Hopcroft (1971)
Tempo de execução do algoritmo, no pior caso, é O(n s log n), onde n é o número de estados e s é o número de símbolos do alfabeto. Ou seja, é O(n log n) para DFAs sobre um alfabeto fixo. Não funciona para NFAs (só para DFAs)

12 Minimização de DFAs Alguns outros algoritmos de minimização:
Algoritmo de Moore (1956): também por refinamento de partições O(n2s) Algoritmo de Brzozowski (1963): aplica-se também para NFA M O(2n) ‘’Inverter’’ M, para obter um NFA N para LR Eliminar os estados inatingíveis de N Converter N para o DFA equivalente M’ Inverter M’, obtendo um novo NFA N’’ para L Converter N’ para o DFA equivalente M’’ M’’ é o DFA mínimo para L