Equações Fundamentais

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1 Equações Fundamentais
Teoria Potencial Equações Fundamentais Modelo mais geral – Equações de Navier Stokes onde

2 Equações Fundamentais
Teoria Potencial Equações Fundamentais Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo: Hipóteses: 1. Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.) # de equações = 4 Incógnitas: NOTA 1: A equação da energia fica desacoplada onde

3 Equações Fundamentais
Teoria Potencial Equações Fundamentais Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo: Hipóteses: Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.) Fluido ideal (ν = 0 ) # de equações = 4 Incógnitas: NOTA 1: A equação da energia fica desacoplada

4 Equações Fundamentais
Teoria Potencial Equações Fundamentais Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo: Hipóteses: Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.) Fluido ideal (ν = 0 ) Identidade matemática # de equações = 4 Incógnitas:

5 Equações Fundamentais
Teoria Potencial Equações Fundamentais Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo: Hipóteses: Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.) Fluido ideal (ν = 0 ) Escoamento irrotacional ( ) Definição de vorticidade Identidade matemática 2 Logo, o campo de velocidades pode ser expresso através de uma função escalar ( ) , chamado de potencial de velocidades

6 Equações Fundamentais
Teoria Potencial Equações Fundamentais Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo: Hipóteses: Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.) Fluido ideal (ν = 0 ) Escoamento irrotacional ( ) Equações: 1 Incógnitas: NOTA 1: A equação da energia fica desacoplada, devido a hipótese 1 NOTA 2: A equação da QDM fica desacoplada da continuidade, devido a hipótese 3

7 Equações Fundamentais
Teoria Potencial Equações Fundamentais Modelo com as hipóteses simplificadoras abaixo: Hipóteses: Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.) Fluido ideal (ν = 0 ) Escoamento irrotacional ( ) Equação de Laplace (diferencial parcial linear) onde NOTA 3: Equação de Bernoulli

8 Equações Fundamentais
Teoria Potencial Equações Fundamentais Hipóteses: Escoamento incompressível (ρ= cte.) e propriedades constantes (ν = cte. ; K = cte.) Fluido ideal (ν = 0 ) Escoamento irrotacional ( ) Eq. Navier - Stokes Modelo c/ hipóteses simplificadoras Equações: 5 (escalares) Incógnitas: Equações: 1 (escalar) Incógnitas:

9 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace Eq. diferencial parcial linear 1. Escoamento Uniforme Potencial de velocidades Laplaciano em coordenadas cartezianas Potencial de velocidades satisfaz a eq. de Laplace Campo de velocidades:

10 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 2. Escoamento 2D que incide em uma parede Potencial de velocidades Laplaciano em coordenadas cartezianas (2D) Potencial de velocidades satisfaz a eq. de Laplace, quando A = -B Campo de velocidades (2D):

11 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 2. Escoamento 2D que incide em uma parede Campo de velocidades (2D): Linhas de corrente (2D): Hiperboles equiláteras

12 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 3. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (3D) Laplaceano – coordenadas esféricas: Determinar o potencial de velocidades de um escoamento que possui apenas componente de velocidade na direção radial Campo de velocidades (3D) – coordenadas esféricas: Potencial de velocidades Fonte / sumidouro NOTA: Este campo de velocidades satisfaz a eq. de Laplace acima

13 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial r Soluções Simples da Equação de Laplace 3. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (3D) Campo de velocidades (3D) Vazão volumétrica que flui pela superfície da esfera de raio r

14 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 3. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (3D) Campo de velocidades (3D) Vazão volumétrica que flui pela superfície da esfera de raio r r

15 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 3. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (3D) Corpo semi-infinito (3D) Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace V∞ Vr V∞ r

16 Teoria Potencial Vsr V∞ Vfr V∞
Combinação de 3 soluções simples da Eq de Laplace Vsr V∞ Vfr Corpo Fechado com simetria axial (3D) V∞ r1 r2 F S

17 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 4. Escoamento tipo Dipolo (3D) Potencial da fonte Potencial do sumidouro Vfr Y Vsr r2 r1 r θ X F S Campo de velocidades gerado por dipolo

18 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace Escoamento sobre a esfera Campo de velocidades sobre uma esfera Y V∞ Vr V∞ Vθ r θ  X

19 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace Escoamento sobre a esfera Campo de pressões sobre uma esfera

20 Teoria Potencial Comparação com resultados experimentais
Escoamento sobre a esfera Campo de pressões sobre uma esfera

21 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 5. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (2D) Laplaceano – coordenadas polares: Determinar o potencial de velocidades de um escoamento que possui apenas componente de velocidade na direção radial Campo de velocidades (2D) – coordenadas polares: Potencial de velocidades Fonte / sumidouro NOTA: Este campo de velocidades satisfaz a eq. de Laplace acima

22 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 5. Escoamento tipo Fonte / Sumidouro (2D) Campo de velocidades (2D) Vazão volumétrica que flui pela superfície do cilindro de raio r

23 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 6. Escoamento tipo Dipolo (2D) Potencial da fonte Potencial do sumidouro Vfr Y Vsr r2 r1 r θ X F S Campo de velocidades gerado por dipolo

24 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace Escoamento sobre o cilindro Potencial de velocidades que descreve o escoamento sobre um cilindro Y V∞ Vr V∞ Vθ r θ  X

25 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace Escoamento sobre o cilindro

26 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace Escoamento sobre um cilindro - Visualização Escoamento sobre o cilindro

27 Teoria Potencial Resultados Experimentais Escoamento sobre o cilindro

28 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 7. Escoamento tipo Vortice (2D) Laplaceano – coordenadas polares: Determinar o potencial de velocidades de um escoamento que possui apenas componente de velocidade na direção tangencial Campo de velocidades (2D) – coordenadas polares: Potencial de velocidades de um vortice NOTA: Este campo de velocidades satisfaz a eq. de Laplace acima

29 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace 7. Escoamento tipo Vortice (2D)  Campo de velocidades (2D) Circulação ao longo do perímetro da circunferencia de raio r

30 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace Escoamento sobre o cilindro com Circulação Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace Esc. Uniforme Dipolo Vórtice Campo de velocidades sobre um cilindro Y V∞ Vr V∞ Vθ r θ  X 

31 Soluções Simples da Equação de Laplace
Teoria Potencial Soluções Simples da Equação de Laplace Escoamento sobre o cilindro com circulação Combinação de 2 soluções simples da Eq de Laplace

32 Escoamentos com Vórtices