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PublicouThomas Hilario Alterado mais de 10 anos atrás
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(7) (8) (9) Em notação vectorial, as equações anteriores
convertem-se em: (7) Substituindo a Eq. da continuidade na Eq. (4) obtém-se (8) Em que D /Dt = d /dt + vx d/dx + yy d/dy + vz d/dx Do mesmo modo a Eq. (7) pode ser re-escrita como: (9)
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(10-a) (10-b) (10-c) (10-d) (10-e) (10-f)
A equação geral do movimento obtém-se a partir da equação anterior por substituição da lei da viscosidade de Newton, generalizada para as 3 dimensões: (10-a) (10-b) (10-c) (10-d) (10-e) (10-f) A dedução desta equação é relativamente complexa e demorou, segundo Bird et al. (Transport Phenomena, 2002), cerca de século e meio a ser desenvolvida pelos físicos e matemáticos!
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A substituição da lei da viscosidade
de Newton na Eq. (9) conduz a: (11-a) (11-b) (11-c) Para fluido com m e r constantes as equações anteriores transformam-se na famosa Equação de Navier-Stokes: (12) Para um fluido invíscido obtém-se a Eq. de Euler (1755): (13)
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Equação da Energia Mecânica
Efectuando o produto interno da velocidade local com a equação do movimento (9), obtém-se: Esta equação é escalar e descreve a taxa de variação da energia cinética por unidade de volume (1/2 v2) de um elemento de fluido. Esta equação pode ainda ser re-escrita por:
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Equação da continuidade em:
Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas
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Equação do movimento em coordenadas rectangulares ( x, y, z )
Em termos de Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com e constantes
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Equação do movimento em coordenadas cilíndricas ( r,, z )
Em termos de Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com e constantes
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Equação do movimento em coordenadas esféricas ( r,, )
Em termos de Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com e constantes
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Componentes do tensor de corte para fluidos Newtonianos.
Coordenadas rectangulares Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas
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Análise de Escoamentos com as Equações da Continuidade do Movimento
Escoamento axial de um fluido incompressível num tubo circular Hipótese simplificativas: Equação da Continuidade: Equação do Movimento (componente-z): Então temos: Integrando duas vezes em relação a r com as condições de fronteira, obtém-se:
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, , Escoamento anular de um fluido Newtoniano
Hipótese simplificativas: Equações do Movimento (r, q, z): (Modelo de Viscosímetro Couette-Hatschek) , , Com as condições de fronteira: Obtém-se por dupla integração:
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Uma vez conhecendo vq(r) obtém-se trq(r) através seguinte Tabela com as componentes do tensor de corte em coordenadas cilíndricas ( lei da viscosidade de Newton): Substituindo vq(r) na componente assinalada na Tabela obtém-se a seguinte expressão para trq(z): O momento da força necessário para manter o cilindro exterior a rodar à velocidade angular W0 é dado por: Estes sistema são frequentemente usados para medir a viscosidade de fluidos a partir da observação do momento da força e da velocidade angular.
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