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Em notação vectorial, as equações anteriores convertem-se em: Substituindo a Eq. da continuidade na Eq. (4) obtém-se Em que D /Dt = d /dt + v x d/dx +

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1 Em notação vectorial, as equações anteriores convertem-se em: Substituindo a Eq. da continuidade na Eq. (4) obtém-se Em que D /Dt = d /dt + v x d/dx + y y d/dy + v z d/dx Do mesmo modo a Eq. (7) pode ser re-escrita como: (7) (8) (9)

2 A equação geral do movimento obtém-se a partir da equação anterior por substituição da lei da viscosidade de Newton, generalizada para as 3 dimensões: A dedução desta equação é relativamente complexa e demorou, segundo Bird et al. (Transport Phenomena, 2002), cerca de século e meio a ser desenvolvida pelos físicos e matemáticos! (10-a) (10-b) (10-c) (10-d) (10-e) (10-f)

3 A substituição da lei da viscosidade de Newton na Eq. (9) conduz a: (11-a) (11-b) (11-c) Para fluido com e constantes as equações anteriores transformam-se na famosa Equação de Navier-Stokes: Para um fluido invíscido obtém-se a Eq. de Euler (1755): (12) (13)

4 Equação da Energia Mecânica Efectuando o produto interno da velocidade local com a equação do movimento (9), obtém-se: Esta equação é escalar e descreve a taxa de variação da energia cinética por unidade de volume (1/2 v 2 ) de um elemento de fluido. Esta equação pode ainda ser re-escrita por:

5 Equação da continuidade em: Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas

6 Equação do movimento em coordenadas rectangulares ( x, y, z ) Em termos de Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com e constantes

7 Equação do movimento em coordenadas cilíndricas ( r,, z ) Em termos de Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com e constantes

8 Em termos de Em termos de gradiente de velocidade para um fluido Newtoniano com e constantes Equação do movimento em coordenadas esféricas ( r,, )

9 Componentes do tensor de corte para fluidos Newtonianos. Coordenadas rectangularesCoordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas

10 Análise de Escoamentos com as Equações da Continuidade do Movimento Escoamento axial de um fluido incompressível num tubo circular Hipótese simplificativas: Equação da Continuidade: Equação do Movimento (componente-z): Então temos: Integrando duas vezes em relação a r com as condições de fronteira,obtém-se:

11 Escoamento anular de um fluido Newtoniano Hipótese simplificativas: Equações do Movimento (r,, z):,, Com as condições de fronteira: Obtém-se por dupla integração: (Modelo de Viscosímetro Couette-Hatschek)

12 Uma vez conhecendo v (r) obtém-se r (r) através seguinte Tabela com as componentes do tensor de corte em coordenadas cilíndricas ( lei da viscosidade de Newton): Substituindo v (r) na componente assinalada na Tabela obtém-se a seguinte expressão para r (z): O momento da força necessário para manter o cilindro exterior a rodar à velocidade angular 0 é dado por: Estes sistema são frequentemente usados para medir a viscosidade de fluidos a partir da observação do momento da força e da velocidade angular.


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