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Sistemas Estuarinos Costeiros Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL MÓDULO IV: Formulação Matemática dos processos ambientais Parte.

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1 Sistemas Estuarinos Costeiros Carlos Ruberto Fragoso Júnior, Centro de Tecnologia, UFAL MÓDULO IV: Formulação Matemática dos processos ambientais Parte 1 – Introdução e Escoamento

2 2 CONTEÚDO:- IConceitos Fundamentais IIEquações Básicas do Escoamento IIIExercício

3 3 ICONCEITOS FUNDAMENTAIS

4 4 Processos no Sistema Equações Matemáticas Métodos Numéricos Predições do Modelo Representa dos usando Resolvid as usando Modelo Computacional ICONCEITOS FUNDAMENTAIS

5 5 Processos no Sistema Hidrólise Nitrificação Deoxigenação Reaeração Assimilação de Nutrientes Decaimento Crescimento Respiração Mortalidade Hidrodinâmica Transporte de Massa Químicos Físicos Biologicos ICONCEITOS FUNDAMENTAIS

6 6 Cada processo é representado usando equações Equações governantes Uso de equações diferenciais – Descrevendo continuamente mudanças de quantidades e suas taxas de mudança Equações diferenciais podem ser complexas + dificuldade de resolver analiticamente Métodos numéricos são requeridos para estimar soluções aproximadas – Converte EDs em formas algebricas de diferenças podem ser resolvidas em um número finito de pontos no espaço e no tempo – E.g. Esquema numérico de diferenças finitas ICONCEITOS FUNDAMENTAIS

7 7 Modelo Numérico EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MÉTODO NUMÉRICO EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS FINITAS MODELO COMPUTACIONA L ESTIMATIVA S DO MODELO ENTRADA PROCESSOS NO SISTEMA

8 8

9 9 IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Processos no Sistemas Hidrólise Nitrificação Deoxigenação Reaeração Assimilação de Nutrientes Decaimento Crescimento Respiração Mortalidade Hidrodinâmica Transporte de Massa Químicos Físicos Biological

10 10 Representadas usando as Equações de Navier-Stokes –Representação do escoamento em toda a sua complexidade (convecção e turbulência) Derivação das ENS começa com a análise da conservação na massa e da quantidade de movimento em um elemento infinitesinal arbitário As ENS assume que um fluido é um continuum, consequentemente na realidade um fluido é uma coleção de moléculas discretas A solução analítica das ENS não é conhecida UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS y x z U V W Velocidade (U, V, W) e nível da água IIEQUAÇÕES GOVERNANTES

11 11 Conservação da quantidade de movimento –Balanço de forças no volume de controle U V W Conservação da massa – Balanço de massa através de um volume de controle IIEQUAÇÕES GOVERNANTES

12 12 Equação da continuidade Princípio da conservação da massa: Taxa de matéria que entra Taxa de matéria que sai Taxa de variação interna -= IIEQUAÇÕES GOVERNANTES

13 13 dx dy x y z dz Equação da continuidade IIEQUAÇÕES GOVERNANTES

14 14 Princípio da conservação da massa Taxa de massa = vazão mássica = VAρ Taxa de variação interna Equação da continuidade IIEQUAÇÕES GOVERNANTES

15 15 As vazões mássicas das faces da esquerda, de baixo e de trás, são, respectivamente As restantes se obtém expandindo as anteriores com a série de Taylor Equação da continuidade IIEQUAÇÕES GOVERNANTES

16 16 x y z Equação da continuidade IIEQUAÇÕES GOVERNANTES

17 17 Taxa de matéria que entra Substituindo no princípio da conservação da massa = Equação da continuidade IIEQUAÇÕES GOVERNANTES

18 18 Taxa de matéria que sai Substituindo no princípio da conservação da massa = IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade

19 19 Substituindo no princípio da conservação da massa Taxa que entraTaxa que sai -= = IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade

20 20 Substituindo no princípio da conservação da massa com a taxa de variação interna IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade

21 21 Substituindo no princípio da conservação da massa equação da continuidade para qualquer escoamento IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade

22 22 Casos particulares - Escoamento permanente: IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade

23 23 Casos particulares - Fluido incompressível: IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da continuidade

24 24 IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento Balanço de forças no elemento infinitesimal –Gravitacionais (forças de campo) Força peso e Força de Coriolis –Perpendiculares à superfície (força superficial) Pressão –Tangenciais à superfície (força superficial) Viscosas (cisalhamento e compressão)

25 25 IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento

26 26 Da 2ª lei de Newton para um elemento infinitesimal de massa dm IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento

27 27 Aceleração convectiva Aceleração instantânea IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento

28 28 Da 2ª lei de Newton Para um elemento infinitesimal de massa dm IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento

29 29 Atua na direção vertical; Sua componente longitudinal é quem promove o escoamento. Significativa em simulações de rompimento de barragem; x1 x2 IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força Peso)

30 30 IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força Peso)

31 31 A força de Coriolis, embora não possa causar o movimento da água, é importante porque pode modificar, significativamente, a direção do movimento da água, especialmente em lagos e estuários grandes. A força de Coriolis é uma força aparente que surge porque analisamos o escoamento fixando o referencial à Terra, que está em movimento de rotação. IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)

32 32 Assim, o resultado é que, no hemisfério Sul, os fluidos escoando para o Sul são desviados para Leste e os fluidos escoando para o Norte são desviados para Oeste, ou seja, os escoamentos são sempre desviados para a esquerda no hemisfério Sul. IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)

33 33 IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)

34 34 Força de Coriolis é dada por onde u e v são as componentes de velocidade da água na direção x e y, respectivamente (m.s -1 ); é a velocidade angular da terra (7, rad.s -1 ); e l é a latitude. IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Coriolis)

35 35 É necessário um gradiente de pressão para promover escoamento. O sentido do escoamento é de um ponto com maior pressão para um ponto com menor pressão IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)

36 36 Balanço de pressões IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)

37 37 dy dx x y z dz IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Pressão)

38 38 Pela 2ª lei de Newton, têm-se: Analogamente para as outras direções

39 39 Força de atrito entre duas superfícies ou entre duas camadas; A nível molecular, as forças de tensão que atua em um volume de água são produzidas pela viscosidade do fluido (atrito interno das moléculas de água) que seria uma força intrínseca do fluido) IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)

40 40 Vento Atrito do fundo Nos contornos IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)

41 41 Forças de superfície normais na direção x.

42 42 Forças de superfície normais na direção x.

43 43 Tangenciais na direção x:

44 44 Tangenciais na direção x:

45 45 Um resultado análogo é obtido nas demais direções A resultante na direção x é: IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento (Força de Cisalhamento)

46 46 A EQM se torna, nas 3 direções: IIEQUAÇÕES GOVERNANTES Equação da quantidade de movimento

47 47 Casos particulares - Escoamento permanente: Equação da quantidade de movimento

48 48 Casos particulares - Escoamento bidimensional (w=0): Equação da quantidade de movimento

49 49 Casos particulares - Escoamento unidimensional (v=w=0): Equação da quantidade de movimento

50 50 Ver lista EXERCÍCIOS


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