Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Anderson L. S. Moreira Instituto Federal de Pernambuco Recife - PE Arquitetura.

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1 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Anderson L. S. Moreira anderson.moreira@recife.ifpe.edu.br Instituto Federal de Pernambuco Recife - PE Arquitetura de Computadores Aula 1 – Introdução

2 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Agenda Introdução Sistemas de Numeração Conversão de Bases Representação de números Exemplos

3 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Introdução Não tem como fugir: – Matemática Computação Com Arquitetura de Computadores o sistema se torna o mesmo: – Tudo depende em parte de sistemas matemáticos de estudo; Porém qual o método mais prático de contagem?

4 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Introdução No início utilizou-se o sistema de correspondência um-para-um, para cada objeto e os dedos das mãos; Aprimoramento foi o uso de traços: Os primeiros algarismos encontrados consistiam de marcas horizontais e verticais (como os acima). Podemos considerar os romanos como a evolução dos traços: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Além disso utilizou uma série de regras para formar números de grandeza maior: VI = 5+1 = 6 IV = 5-1 = 4 CXVI = 100+10+5+1 = 116

5 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Introdução A realização de cálculos com esse sistema, especialmente para operações como multiplicação e divisão era extremamente complexa e de aplicação praticamente impossível: Exercício 1 – Procurar como realizar operações matemáticas com algarismos romanos. Posteriormente os árabes utilizaram-se de um sistema originário da Índia, que possuía 10 algarismos (0 a 9)

6 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Introdução

7 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Introdução Esse sistema começou a ser utilizado na Europa no século 12. Destaca-se pelas seguintes características: – Existe um símbolo para o valor nulo; – Cada algarismo utilizado é uma unidade maior que seu predecessor; – A notação é posicional; – Cada posição possui um determinado peso.

8 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Representação de números Os sistemas atuais formam os números pela fórmula a seguir, onde a representa o número propriamente dito; B representa a base do sistema de numeração (B >= 2); x i representa os algarismos (0 x i B); e o intervalo de –m a n-1 representa o número de posições utilizadas. Com B=10 tem-se o sistema decimal.

9 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Representação de números Para os sistemas de numeração utilizam-se as seguintes regras: – A base B de um sistema é igual à quantidade de algarismos distintos utilizados. Para a base decimal, tem-se 10 algarismos distintos (de 0 a 9); – Quando uma posição é ocupada pelo maior algarismo e ela deve ser aumentada de uma unidade, esta posição recebe o símbolo nulo e a posição seguinte deve ser aumentada de uma unidade; – O algarismo mais à direita (digito menos significativo) tem peso 1, o imediatamente a esquerda tem peso B, o seguinte peso B ao quadrado e assim sucessivamente; – O valor de cada algarismo de um número é determinado multiplicando-se o algarismo pelo peso de sua posição; – O valor de um número é determinado pela soma dos valores de cada algarismo.

10 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 dados informações Os computadores manipulam dados (sinais brutos e sem significado individual) para produzir informações. A conversão de dados em informações, e estas novamente em dados, é uma parte tão fundamental em relação ao que os computadores fazem que é preciso saber como a conversão ocorre para compreender como o computador funciona. Infelizmente os computadores não usam nosso sistema de numeração. A Informação e sua Representação

11 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Sistema de Numeração Conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e de regras que definem a forma de representação. Cada sistema de numeração é apenas um método diferente de representar quantidades. As quantidades em si não mudam, mudam apenas os símbolos usados para representá-las. base A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base. notação posicional Representação numérica mais empregada: notação posicional. A Informação e sua Representação

12 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Não Posicionais Não Posicionais Valor atribuído a um símbolo é inalterável, independente da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representam uma quantidade. Valor atribuído a um símbolo é inalterável, independente da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representam uma quantidade. Sistema de numeração Romano Sistema de numeração Romano XXI XIX XXI XIX 10 10 1 10 1 10 10 10 1 10 1 10 Sistemas de Numeração

13 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Posicionais Posicionais Valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representa uma quantidade. Sistema de Numeração Decimal 5 7 3 3 5 7 5 7 3 3 5 7 500 70 3 300 50 7 500 70 3 300 50 7 Sistemas de Numeração

14 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 código Sistema de numeração – código contagem Operação básica – contagem base (raiz) Grupo com um determinado número de objetos – base (raiz) Sistemas de numeração básicos: Sistemas de numeração básicos: – – Decimal – – Binário – – Octal – – Hexadecimal Sistemas de Numeração

15 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Exemplos de Sistemas de Numeração SistemaBaseAlgarismos Binário20,1 Ternário30,1,2 Octal80,1,2,3,4,5,6,7 Decimal100,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Duodecimal120,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B Hexadecimal160,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Como os números representados em base 2 são muito extensos e, portanto, de difícil manipulação visual, costuma-se representar externamente os valores binários em outras bases de valor mais elevado (octal ou hexadecimal). Isso permite maior compactação de algarismos e melhor visualização dos valores. Sistemas de Numeração

16 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Padrões de Representação Letra após o número para indicar a base; Número entre parênteses e a base como um índice do número. Exemplo: – – Sistema Decimal – 2763D ou (2763) 10 ou 2763 10 Sistemas de Numeração

17 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Sistema mais utilizado. 10 símbolos para representar quantidades. 0 1 2 3 4 5 6 78 9 0 1 2 3 4 5 6 78 9 Peso Peso – representar quantidades maiores que a base. Peso trouxe: unidade, dezena, (dez unidades), centena (cem unidades), milhar (mil unidades), dezena de milhar, centena de milhar, etc. Exemplo Exemplo: 2574 é composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5 centenas e 2 milhares, ou 2000 + 500 + 70 + 4 = 2574 Sistema Decimal (Base 10) Sistemas de Numeração

18 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Utiliza dois símbolos para representar quantidades. 0 e 1 Segue as regras do sistema decimal - válidos os conceitos de peso e posição. Posições não têm nome específico. bit Cada algarismo é chamado de bit. Exemplo: 101 2 Expressão oral Expressão oral - diferente dos números decimais. – MSB – Caractere mais à esquerda - Most-Significative-Bit -MSB. – LSB – Caractere mais à direita - Least-Significative-Bit - LSB. Sistema Binário (Base 2) Sistemas de Numeração

19 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Utiliza 8 símbolos. 0 1 2 3 4 5 6 7 Exemplo: 563 8 Expressão oral Expressão oral - similar ao sistema binário. Sistema Octal (Base 8) Sistemas de Numeração

20 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Possui 16 símbolos (algarismos) para representar qualquer quantidade. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F A B C D E F facilidade de manuseio Uso das letras - facilidade de manuseio. Exemplo: 5A3 16 Expressão oral Expressão oral - similar ao sistema binário. Sistema Hexadecimal (Base 16) Sistemas de Numeração

21 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Ao trabalhar com sistemas de numeração, em qualquer base, deve-se observar o seguinte: O número de dígitos usado no sistema é igual à base. O maior dígito é sempre menor que a base. O dígito mais significativo está à esquerda, e o menos significativo à direita Um vai-um de uma posição para outra tem um peso igual a uma potência da base. Em geral se toma a base decimal como referência Em geral se toma a base decimal como referência. Sistemas de Numeração

22 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Sistemas de Numeração

23 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Conversão entre Sistemas de Numeração divisão Procedimentos básicos: - divisão polinômio (números inteiros) - polinômio agrupamento de bits - agrupamento de bits OCTAL Sistemas de Numeração

24 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Divisão (Decimal outro sistema) Divisão (Decimal outro sistema) – – Divisão inteira (do quociente) sucessiva pela base, até que resto seja menor do que a base. – último quocienterestos – Valor na base = composição do último quociente (MSB) com restos (primeiro resto é o bit menos significativo - LSB) Conversão entre Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração

25 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 DivisãoDecimaloutro sistema Divisão (Decimal outro sistema) Dividir o número por b (base do sistema) e os resultados consecutivas vezes. (125) 10 = (? ) 2 (538) 10 = (? ) 16 Ex.: (125) 10 = (? ) 2 (538) 10 = (? ) 16 Conversão entre Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração

26 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Notação Polinomial ou Posicional Válida para qualquer base numérica Válida para qualquer base numérica. LEI DE FORMAÇÃO (Notação ou Representação Polinomial): Número = a n = algarismo, b = base do número n = quantidade de algarismo - 1 Conversão entre Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração

27 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Ex.: a) (1111101) 2 = (? ) 10 b) (21A) 16 = (? ) 10 (21A) 16 = 2x16 2 + 1x16 1 + 10x16 0 = 538 10 (1111101) 2 = 125 10 1x2 6 + 1x2 5 + 1x2 4 + 1x2 3 + 1x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 = 125 10 Conversão entre Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração

28 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Agrupamento de Bits Sistemas octal e hexa binário (e vice versa) associando 3 bits ou 4 bits (quando octal ou hexadecimal, respectivamente) e vice-versa. Ex.: (1011110010100111) 2 = ( ? ) 16 (A79E) 16 = ( ? ) 2 Conversão entre Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração

29 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Conversão octal hexadecimal Não é realizada diretamente - não há relação de potências entre as bases oito e dezesseis. base intermediária Semelhante à conversão entre duas bases quaisquer - base intermediária (base binária) Conversão em duas etapas: 1 - número: base octal (hexadecimal) binária. 2 - resultado intermediário: binária hexadecimal (octal). Conversão entre Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração

30 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Ex.: (175) 8 = ( ? ) 16 a) (175) 8 = ( ? ) 16 (7D) 16 (175) 8 = (1111101) 2 = (7D) 16 (21A) 16 = (? ) 8 b) (21A) 16 = (? ) 8 (1032) 8 (21A) 16 = (001000011010) 2 = (1032) 8 Conversão entre Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração

31 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Conversão de Números Fracionários Lei de Formação ampliada (polinômio): Conversão entre Sistemas de Numeração Exemplo: (101,110) 2 = ( ? ) 10 (5,75) 10 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 +1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 = (5,75) 10 Sistemas de Numeração

32 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Conversão de Números Fracionários Operação inversa: multiplicar a parte fracionária pela base até que a parte fracionária do resultado seja zero. Decimal outro sistema Exemplo:(8,375) 10 = ( ? ) 2 Exemplo: (8,375) 10 = ( ? ) 2 Sistemas de Numeração

33 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Mostre que: Mostre que: – 5,8 10 = 101,11001100... 2 (uma dízima). – 11,6 10 = 1011,10011001100... 2 a vírgula foi deslocada uma casa para a direita, pois 11,6 = 2 x 5,8. Sistemas de Numeração

34 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Uma caixa alienígena com o número 25 gravado na tampa foi entregue a um grupo de cientistas. Ao abrirem a caixa, encontraram 17 objetos. Considerando que o alienígena tem um formato humanóide, quantos dedos ele tem nas duas mãos? Sistemas de Numeração

35 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Solução: 17 10 = 25 b 17 = 2xb 1 + 5xb 0 17 = 2b + 5 b = (17-5)/2 b = 6 Sistemas de Numeração

36 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Elabore um programa que realiza conversões entre sistemas de numeração, conforme descrição apresentada na figura abaixo. Sistemas de Numeração

37 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Como um computador identifica que um número é negativo? Sistemas de Numeração

38 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 A resposta a esta pergunta é que isso depende da convenção usada na representação de números. As convenções mais usuais são as seguintes : – Representação de grandeza com sinal (sinal e magnitude) – Representação em complemento de 2 Sistemas de Numeração

39 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Exemplo : (8 bits) 00101001 2 = 41 10 1 1010111 c2 = - 41 10 Exemplo : (8 bits) 00001100 2 = 12 10 1 1110100 c2 = -12 10 Representação de números inteiros positivos Representação de números inteiros positivos – – igual à representação usual já apresentada Representação de números inteiros negativos Representação de números inteiros negativos – – mantém-se os bits menos significativos da direita para a esquerda até à ocorrência do primeiro bit igual a 1 (inclusive), sendo os bits restantes complementados de 1. – – Esta operação equivale a: complemento de 1 + 1. Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)

40 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Exemplobinário de 8 bits Exemplo: Números inteiros codificados em binário de 8 bits em um sistema que utiliza complemento de 2: (-128, -127,..., -2. -1, 0, +1, +2,..., +127) {10000000, 10000001,..., 11111110, 11111111, 00000000, 00000001, 00000010,..., 01111111} Bit mais significativo informação de sinal (0 = positivo e 1 = negativo) Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)

41 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Requer um só circuito (somador) para fazer a adição e a subtração. Há apenas uma representação para o valor 0 (disponibilidade para mais uma representação) - mais um número negativo pode ser representado (para 8 bits, pode-se representar o número –128 10 10000000 2 ). A quantidade de números positivos é diferente da quantidade de números negativos. Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)

42 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Exemplo Exemplo: Escreva os números decimais abaixo na representação em complemento de 2 (utilizando 8 bits, se existir representação). a) -1 b) –20 c) –127 d) –128 Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)

43 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Até meados dos anos 1980, cada fabricante de computador tinha seu próprio formato para representar números em ponto flutuante. SoluçãoPadrão 754 Solução: criação do Padrão 754 (IEEE 1985). O Padrão IEEE 754 procurou uniformizar a maneira como as diferentes máquinas representam os números em ponto flutuante, bem como devem operá-los. O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) flutuante é a representação mais comum para números reais em computadores de hoje, incluindo PC's compatíveis com Intel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux. Representação de Números Reais

44 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 O padrão IEEE 754 define três formatos O padrão IEEE 754 define três formatos: Precisão simples Precisão simples (32 bits) Precisão dupla Precisão dupla (64 bits) Precisão estendida (80 bits) Os formatos de precisão simples e precisão dupla usam a base 2 para o significando e a notação em excesso para o expoente. O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante

45 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Bits 1 8 23 Significando Sinal Expoente Bits 1 11 52 Significando Sinal Expoente Precisão simples Precisão dupla O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante

46 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Sinal Sinal: 0 = + e 1 = - Combinações Combinações: Sinal + Expoente + Significando Notação emexcesso de 127 Notação em excesso de 127 (bit de polarização): precisão simples. Notação emexcesso de 1023 Notação em excesso de 1023 (bit de polarização): precisão dupla. PrecisãoSinalExpoente(+/-)Significando Simples (32bits)1 [bit31]8 [bits30-23]23 [bits22-00] Dupla (64 bits)1 [bit63]11 [bits62-52]52 [bits51-00] O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante

47 Anderson Moreira TI 2 de Março de 2010 Não percam o próximo episódio! Dúvidas?