1 Simulação da Queda de Corpos DI/FCT/UNL 1º Semestre 2004/2005.

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1 1 Simulação da Queda de Corpos DI/FCT/UNL 1º Semestre 2004/2005

2 2 Bases Físicas do Problema Sem contar com a resistência do ar, um corpo em queda livre é sujeito à aceleração (constante) da gravidade com o valor de 9.8 ms -2. A resistência do ar pode ser modelada através de uma força, logo de uma aceleração, proporcional à velocidade e de sentido contrário, que depende do objecto em queda. Denotando por a a aceleração instantânea (no instante t), e tendo em conta os sentidos no referencial, temos: a(t) = - g - k  v(t) vgax coeficiente de resistência do ar

3 3 Velocidade e Aceleração Como é sabido a aceleração é a derivada da velocidade: a(t) = dv(t)/dt logo: a(t)  dt = dv(t) Se dt for um valor muito pequeno, podemos obter a aproximação: a(t)  dt ≈ v(t+dt)-v(t) Portanto, o valor aproximado da velocidade no instante t+dt é: v(t+dt) ≈ v(t)+a(t)  dt

4 4 Posição e Velocidade Como é sabido a velocidade é a derivada da posição: v(t) = dx(t)/dt logo: v(t)  dt = dx(t) Se dt for um valor muito pequeno, podemos obter a aproximação: v(t)  dt ≈ x(t+dt)-x(t) Portanto, o valor aproximado da posição no instante t+dt é: x(t+dt) ≈ x(t)+v(t)  dt

5 5 Aceleração, Velocidade e Posição Em resumo, dados os valores da velocidade e posição no instante t, o seu valor aproximado no instante t+dt, é: x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt sendo a aceleração do corpo em queda livre dada por: a(t) = - g - k  v(t) Uma vez esboçada a forma de calcular os sucessivos valores da altura, velocidade e aceleração, podemos especificar o problema.

6 6 Especificação do Problema Dada uma altura inicial, determinar com base no coeficiente de resistência do ar e para uma dada precisão do intervalo de tempo, o tempo que dura a queda, bem como as velocidades e aceleração no solo. Algoritmo de Queda de Corpos Entrada Resistência do Ar Altura Inicial Intervalo de Tempo Resultados Tempo da Queda Velocidade Final Aceleração Final

7 7 Variáveis Utilizadas Em geral, na especificação de um algoritmo definem-se as variáveis e constantes que vão ser utilizadas, bem como o seu significado. Neste problema, apenas existe uma constante: g = 9.8 a aceleração da gravidade (na Terra) As variáveis a utilizar são, naturalmente, as seguintes: t: o tempo dt: o valor do intervalo de tempo usado na simulação x: a altura do corpo em cada instante t v: a velocidade do corpo no instante t a: a aceleração do corpo no instante t k: o coeficiente de resistência do ar (dependente da forma do corpo)

8 8 Estrutura do Algoritmo O algoritmo para simulação da queda dos corpos pode ser decomposto em 3 “componentes” 1. Inicialização de Variáveis 2. Ciclo de Simulação da Queda 3. Apresentação de Resultados Cada uma destas componentes pode ser considerada separadamente

9 9 Inicialização de Variáveis Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser referidas em expressões. g: aceleração da gravidade t: o tempo dt: intervalo de tempo usado na simulação x: a altura do corpo em cada instante t v: a velocidade do corpo no instante t a: a aceleração do corpo no instante t k: o coeficiente de resistência do ar A constante que representa a aceleração da gravidade deve ser definida com o respectivo valor. g  9.8 ;

10 10 Inicialização de Variáveis Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser referidas em expressões. g: aceleração da gravidade t: o tempo dt: intervalo de tempo usado na simulação x: a altura do corpo em cada instante t v: a velocidade do corpo no instante t a: a aceleração do corpo no instante t k: o coeficiente de resistência do ar g  9.8 ; Quer a altura inicial, quer o valor do coeficiente da resistência do ar, quer o intervalo de tempo utilizados, devem ser especificados pelo utilizador através de instruções de entrada. entra x; entra k; entra dt;

11 11 Inicialização de Variáveis Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser referidas em expressões. g: aceleração da gravidade t: o tempo dt: intervalo de tempo usado na simulação x: a altura do corpo em cada instante t v: a velocidade do corpo no instante t a: a aceleração do corpo no instante t k: o coeficiente de resistência do ar g  9.8 ; Assumindo que a queda começa na origem do tempo, a partir de repouso, as respectivas variáveis deverão ser inicializadas a zero. entra x; entra k; entra dt; t  0; v  0;

12 12 Inicialização de Variáveis Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser referidas em expressões. g: aceleração da gravidade t: o tempo dt: intervalo de tempo usado na simulação x: a altura do corpo em cada instante t v: a velocidade do corpo no instante t a: a aceleração do corpo no instante t k: o coeficiente de resistência do ar g  9.8 ; A aceleração inicial pode ser calculada de acordo com a fórmula. entra x; entra k; entra dt; t  0; v  0; a  -g-k  v;

13 13 Inicialização de Variáveis 1. Inicialização de Variáveis g  9.8; % Aceleração da Gravidade entra x; % Altura inicial entra k; % Coeficiente de Atrito entra dt; % Intervalo de Tempo t  0; % Tempo inicial v  0; % Velocidade inicial a  -g-k  v; % Aceleração inicial

14 14 Ciclo de Simulação A parte fundamental do algoritmo é um ciclo em que se vão calculando os sucessivos valores de tempo t, da altura x, da velocidade v e da aceleração a, em tempos espaçados de um intervalo dt: enquanto... fazer t  t + dt ; x  x + v  dt ; % x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt v  v + a  dt ; % v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt a  -g - k  v ; % a(t+dt) = - g - k  v(t+dt) fim enquanto

15 15 Condições de Entrada no Ciclo Em qualquer ciclo é necessário especificar em que condições é que o ciclo é executado. Neste caso, estamos interessados em estudar a queda até se atingir o solo (x=0). A condição de controle do ciclo é pois x > 0, donde: enquanto x > 0 fazer t  t + dt ; x  x + v  dt ; % x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt v  v + a  dt ; % v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt a  -g - k  v ; % a(t+dt) = - g - k  v(t+dt) fim enquanto

16 16 Ciclo de Simulação 2. Ciclo de Simulação enquanto x > 0 fazer t  t + dt ; x  x + v  dt ; % x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt v  v + a  dt ; % v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt a  -g - k  v ; % a(t+dt) = - g - k  v(t+dt) fim enquanto

17 17 Apresentação de Resultados O tempo de duração da queda, a velocidade final com que se atinge o solo, e a aceleração nesse ponto, são simplesmente o valor das variáveis t, v e a no final do ciclo. sai t; % Tempo de duração da Queda sai v; % Velocidade de chegada ao solo sai a; % Aceleração de chegada ao solo 3. Apresentação de Resultados

18 18 Algoritmo Completo g  9.8; % Aceleração da Gravidade entra x; % Altura inicial entra k; % Coeficiente de Atrito entra dt; % Intervalo de Tempo t  0; % Tempo inicial v  0; % Velocidade inicial a  -g-k  v; % Aceleração inicial enquanto x > 0 fazer t  t + dt ; x  x + v  dt ; % x(t+dt)  x(t) + v(t)  dt v  v + a  dt ; % v(t+dt)  v(t) + a(t)  dt a  -g - k  v ; % a(t+dt) = - g - k  v(t+dt) fim enquanto sai t; % Tempo de duração da Queda sai v; % Velocidade de chegada ao solo sai a; % Aceleração de chegada ao solo % Inicialização de Variáveis % Ciclo de Simulação da Queda % Apresentação dos Resultados

19 19 Programa Octave g = 9.8; x = input(" Qual a altura inicial (em metros) ? "); k = input(" e o coeficiente de atrito (1/s) ? "); dt = input(" e o intervalo de tempo (em segs) ? "); t = 0; v = 0; a = - g - k * v; while (x > 0) t = t + dt; x = x + v * dt; v = v + a * dt; a = - g - k * v; endwhile; disp(" O tempo de queda (em segundos) foi de "); disp(t); disp(" e a velocidade final (em m/s) foi de "); disp(-v); disp(" e a aceleração final (em m/s2) foi de "); disp(-a);

20 20 Programa Octave O programa pode ser testado com vários valores dos parâmetros de entrada (x, k e dt). A altura inicial x tipica é da ordem dos 1000 metros. Realçar a importância de dt tomar valores pequenos, de forma a garantir que erros cometidos pela aproximação das equações diferenciais não sejam muito significativos (dt  0.1 seg). Tipicamente k toma valores no intervalo 0 – sem resistência do ar 1 – resistência muito alta