Processamento de Imagens

Processamento de Imagens
Prof. Dr. Kamel Bensebaa Aula 9

Morfologia Matemática
A Morfologia Matemática nasceu em 1964 devido aos trabalhos pioneiros de G.Matheron e J. Serra resultantes do estudo de permeabilidade dos meios porosos em relação com a sua geometria ou textura. A idéia de quantificar a textura de objetos a partir de elementos estruturantes de forma geométrica conhecida serviu de base à criação da Morfologia Matemática. As primeiras noções teóricas foram estabelecidas no período de 1964 e 1968, juntamente na época em que foi criado o Centro de Morfologia Matemática na Escola de Minas de Paris localizada em Fontainebleau (França).

A Morfologia Matemática pode ser definida como uma teoria para análise de estruturas espaciais. É chamada de morfologia porque visa analisar a forma dos objetos. A Morfologia Matemática não é apenas uma teoria, mas também uma poderosa técnica de análise de imagens

O modelo morfológico para abordagem de problemas de análise de imagem está baseado na extração de informações de imagens a partir de transformações de formas, estruturado sob a álgebra booleana, e na teoria dos conjuntos e reticulados. As transformações singulares são realizadas através dos operadores elementares, os quais foram denominados por Matheron e Serra de transformações de dilatação e erosão.

Os operadores de dilatação e erosão invariante por translação, sobre imagens binárias, foram desenvolvidos originalmente com base nas operações de adição e subtração de Minkowski. Em geral, cada um desses operadores pode ser caracterizado por um subconjunto chamado de elemento estruturante.

As dilatações e erosões são usadas para a criação de transformações mais sofisticadas. Essas transformações levam a vários resultados importantes na de análise de imagens filtros morfológicos preenchimento de buracos, Extração de contornos reconhecimento de padrões.

Operadores morfológicos
Muito utilizados em imagens binárias (imagens de máscaras) mas também em imagens de níveis de cinza Permitem modificar a morfologia dos objetos Para limpar ou melhorar o resultado da segmentação Preencher os buracos, eliminar o ruído Para suavizar o resultado da segmentação Utilizado em pós-segmentação. Caracterizados por um elemento estruturante Transformações erosão, dilatação, abertura (erosão & dilatação), fechamento (dilatação & erosão)

Elemento Estruturante
O princípio básico da Morfologia Matemática consiste em extrair informações relativas à geometria e a topologia de um conjunto desconhecido de uma imagem. Sua grande potencialidade reside na palavra “elemento estruturante”. A morfologia age sobre imagens digitais a partir de elementos estruturantes geralmente definidos por uma malha retangular. Uma das chaves para a obtenção de bons resultados na Morfologia Matemática, é a escolha adequada do elemento estruturante.

Elemento Estruturante
O elemento estruturante “desliza” sobre as bordas (internas, externas) dos objetos e transforma na sua passagem : pixels dos objetos em pixels de fundo (erosão) pixels de fundo em pixels de objetos (dilatação) Exemplo de elementos estruturantes : Existem outras formas d‘e elementos estruturantes, não necessariamente simétricos. Conectividade-4 Conectividade-8

A linguagem da Morfologia Matemática sobre imagens binárias é baseada na teoria dos conjuntos. Os subconjuntos considerados são os pixels pretos em uma imagem preto e branco (imagem binária). Subconjuntos, em um espaço bidimensional podem representar regiões de imagens binárias. Subconjuntos, em um espaço Euclidiano tridimensional, podem representar imagens binárias variando no tempo, ou imagens binárias representando sólidos, ou ainda, imagens estáticas em níveis de cinza. Subconjuntos com dimensões maiores podem incorporar informações adicionais em relação à imagem, tais como: informações de cor ou múltiplas perspectivas.

Definições Básicas O conjunto de todos os píxels pretos de uma Imagem Binária é uma descrição completa dessa Imagem. Em Imagens Binárias, os conjuntos são membros do espaço bi-dimensional de números inteiros Z2, em que cada elemento é um vetor cujas coordenadas são (x,y). Imagens digitais em nível de cinza podem ser representadas por conjuntos cujos componentes estejam em Z3. Dois componentes de cada elemento são as coordenadas do píxel e o terceiro corresponde ao valor da Intensidade.

Definições Básicas CONCEITO DE CONJUNTO
O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da Matemática. Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos bem definidos. Os objetos em um conjunto podem ser qualquer entidade abstrata: números, variáveis, equações, operações, algoritmos, sentenças, nomes, etc. Esses objetos são chamados elementos ou membros de um conjunto.

Definições Básicas Exemplos:
O conjunto cujos elementos são os números 1, 4, 9, 16 e 25 O conjunto das soluções da equação x2 – 5x + 6 = 0 O conjunto dos números inteiros, , - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ... O conjunto das potências inteiras de 2 que são 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... Geralmente denotamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C, X, Y, ... e os elementos de um conjunto por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ...

Teoria dos Conjuntos Conjunto como próprio nome diz e uma coleção de objetos sem repetição. Se um conjunto não e muito grande, este pode ser descrito listando-se os seus elementos em qualquer ordem por exemplo: A = {1 , 2 , 3 , 4} Se um conjunto e muito grande ou infinito, este pode ser descrito através de propriedades requeridas de seus membros:

Teoria dos Conjuntos X = {x| x e um n° inteiro, positivo e par} x  X , se x esta em X, caso contrario x  X. Exemplos: Se A= {x| x2 + x – 6 = 0} e B={2, -3} então A = B Se C={1, 3} e A = {1 , 2 , 3 , 4} então C e um subconjunto de A

Combinação de Conjuntos
Sejam dois conjuntos X e Y: UNIÃO A união de dois conjuntos X e Y é o conjunto de elementos que pertencem ou X ou Y ou ambos: X  Y = { x | (x  X) ou (x  Y)} Exemplo: Considere dois conjuntos A = { 1, 3 , 5} e B = {4 , 5 , 6} então A  B = {1, 3 , 4 , 5 , 6}

INTERSEÇÃO A interseção de dois conjuntos X e Y é o conjunto de elementos pertencentes a ambos X e Y: X  Y = { x | (c  X) e (x  Y)} Exemplo: Considere dois conjuntos A = { 1, 3 , 5} e B = {4 , 5 , 6} então A  B = {5}

DIFERENÇA A diferença entre os conjuntos X e Y é o conjunto de elementos que pertencem a X mas não pertencem a Y: X – Y = { x | ( A) e (x  B)} Exemplo: Considere dois conjuntos A = { 1, 3 , 5} e B = {4 , 5 , 6} então A - B = {1 , 3} B - A = {4 , 6}

COMPLEMENTO O complemento do conjunto X é o conjunto dos elementos não pertencentes ao conjunto X. Ac ou X’ = {x | x  X} Exemplo: Seja o conjunto V = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5} e A = {1 , 3 , 5} então A’ = {2 , 4} e o complemento de A em relação a V.

DISJUNÇÃO São disjuntos quando não existem elementos comuns entre eles. Exemplo: Seja o conjunto A = { 1 , 4 , 5} e B = {2 , 6} então A e B são disjuntos.

TRANSLAÇÃO A translação do conjunto X pelo ponto x é definida, em notação de conjuntos, como: X’ = { y | y = a + x, x  X} Exemplo: Seja o conjunto X = {1 , 2} então todos os pixels da imagem serão movidos uma coluna para a direita e duas linhas para baixo conforme exemplificado abaixo com uma imagem:

Translação

REFLEXÃO A reflexão do conjunto X é definida como: X’ = { y | y = -x, x X} Esta é uma rotação de 180o sobre a origem

Operações de Conjuntos em Imagens

AND A  B OR A  B

XOR NAND B - A

Dilatação Binária A dilatação é uma transformação morfológica que combina dois conjuntos usando adição vetorial. Seu símbolo é  O resultado será uma imagem dilatada “engordada”. A dilatação de um conjunto A pelo conjunto B e definida por: A  B = { c | c = a + b , a  A , b  B } onde A representa a imagem sendo operada e B é um segundo conjunto onde é chamado elemento estrutural e sua composição define a natureza espcifica da dilatação, sendo assim a dilatação expande uma imagem. Ela pode ser representada pela união A  B =  B.

Exemplo de Dilatação Seja o conjunto A = { (0,1) , (1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,0)} e B = {(0,0) , (0,1)} então o resultante da dilatação é: A  B = {A + {(x1  B)}  A + {(x2  B)} A  B = { (0,1) , (1,1) , (2,1) , (3,0) , (0,2) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,1)}

Exemplo de Dilatação Exemplo: A  B
Logo A  B = [A+ {(0,0)}]  [A + {(1,0)}] resulta em: A  B = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}

Exemplo de Dilatação O pixel marcado com um “x” representa a origem (0,0) de cada imagem. A localização da origem é muito importante; no exemplo anterior se a origem do conjunto B fosse o pixel da direita, {(-1,0),(0,0)}, a dilatação acrescentaria pixels a esquerda na imagem A. Pode-se visualizar todo o processo da melhor forma graficamente:

Exemplo de Dilatação Seqüência de passos na Dilatação de A por B

Definições Úteis Em matemática, um grupo abeliano, chamado também de grupo comutativo, é um grupo (G,*) tais que a*b = b*a para todo a e b em G. Ou seja, a ordem em que a operação binária é executada não importa. Um reticulado é uma estrutura L = (L, R) tal que L é parcialmente ordenado por R e para cada dois elementos a, b de L existe supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior) de {a,b}.

Definições Úteis Seja E um conjunto de elementos.
O conjunto {x : P} define os elementos x de E que satisfazem a propriedade P. A proposição A  B significa que A é um subconjunto de B. A proposição x  A significa que x é um elemento do conjunto A. O símbolo i significa “existe pelo menos um i”, e o símbolo i, “para todo i”.

Adição de Minkowski A adição de Minkowski baseada na teoria dos conjuntos foi proposta por Minkowski (1903) para caracterizar medidas integrais de certos conjuntos esparsos. A adição de Minkowski pode ser definida da seguinte forma: Seja (E, +) um grupo Abeliano Sejam A e B subconjuntos de E. A soma de Minkowski de A e B é o subconjunto de E, denotado A  B e dado por:

Adição de Minkowski A adição de Minkowski, denotada , é o mapeamento dado por: A adição de Minkowski é uma operação que combina dois conjuntos usando a adição vetorial de elementos em um grupo Abeliano.

Subtração de Minkowski
Seja (E, +) um grupo Abeliano. Sejam A e B dois subconjuntos de E. A diferença de Minkowski entre A e B é o subconjunto de E, denotado A θ B e é dado por:

Subtração de Minkowski
A subtração de Minkowski, denotada θ, é o mapeamento dado por

Transformação de Dilatação
A dilatação binária é uma transformação que combina dois conjuntos usando a adição de Minkowski. Se A e B são subconjuntos em um grupo Abeliano, então a dilatação de A por B é a soma de Minkowski entre A e B. A transformação de dilatação, também é conhecida na área de processamento de imagens como ampliação.

Transformação de Dilatação
Seja A e B subconjuntos de E. A dilatação com relação a B, denotada por δB é definida, para todo A  E : Na expressão δB (A), a utilização da dilatação de A com relação a B, A e B tem “tratamento” diferente. A é a imagem a ser processada, enquanto que B é o parâmetro da dilatação.

Dilatação É a aplicação de um elemento estruturante de forma concêntrica sobre um conjunto definido de pontos (brancos ou pretos) em uma imagem, de maneira que o elemento estruturante adicione informação sobre a vizinhança destes pontos. Pode-se imaginar que o elemento estruturante desliza sobre um conjunto de pontos dilatando sua vizinhança numa proporção que varia conforme as dimensões do elemento estruturante. Os efeitos da dilatação binária são: engordar o objeto. preencher pequenos buracos. conectar objetos próximos.

Transformação de Erosão
A erosão binária é uma transformação que combina dois conjuntos usando subtração Minkowski. Se A e B são subconjuntos em um grupo Abeliano, então a erosão de A por B é a diferença de Minkowski entre A e B. A transformação de erosão, também é conhecida na área de processamento de imagens como retração ou redução. A erosão de A com relação a B denotada por εB , é definida, para todo A  E, por:

Erosão É o inverso da dilatação. A aplicação do elemento estruturante ocorre analogamente à operação anterior, porém, ao invés de dilatar a vizinhança do ponto percorrido inserindo informação, o elemento retira informação (gerando erosão nas áreas percorridas). Isso qualifica a erosão binária com os seguintes efeitos: diminuir os objetos. eliminar objetos menores que o elemento estruturante. aumentar os buracos. permitir a separação de objetos próximos.

Exemplo de Dilatação

Exemplo de Dilatação A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} A B ?

Exemplo de Dilatação A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
A B ={[A+(-1,0)][A+(0,-1)] [A+(0,1)] [A+(1,0)]} [A+(-1,0)]=[(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)] [A+(0,-1)]=[(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)] [A+(0,1)]=[(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)] [A+(1,0)]=[(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)] A B ={(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3) (3,1),(3,2)}

Exemplo de Dilatação Example 1 Example 2

Exemplo de Dilatação Exemplo 1 Exomplo 2

Exemplo de Dilatação 1

Exemplo de Erosão

Exemplo de Erosão 1

Exemplo de Erosão

Propriedades da Dilatação
Raio=3 O tamanho dos objetos aumenta Os buracos podem ser preenchidos Os objetos vizinhos podem ser conectados Pequenos detalhes desaparecem

Dilatação com elementos de tamanho crescente

Propriedades da Erosão
O tamanho dos objetos diminua Os objetos com buracos podem ser divididos em vários Pequenos objetos e detalhes desaparecem

Abertura A erosão de uma imagem não remove somente todas as estruturas que não contém o elemento estruturante, mas também “encolhe” todas as outras A procura por um operador capaz de recuperar a maioria das estruturas perdidas pela erosão levou a definição do operador morfologico Abertura A ideia por tras do operador abertura é dilatar a imagem erodida de maneira a recuperar o máximo possivel a imagem original

Abertura É derivada das operações de dilatação e erosão.
O operador de abertura aplica uma erosão seguida de uma de dilatação na imagem. Esta seqüência de operações visa eliminar pequenos ruídos na imagem e abrir lacunas em regiões de fraca conexão entre objetos, através da erosão, e posteriormente tenta restaurar as dimensões reais de objetos da imagem através da dilatação. Os ruídos e fracas conexões eliminados com a erosão não retornam à imagem após a dilatação.

Abertura Opening - suaviza o contorno de uma imagem.
Quebra estreitos e elimina proeminências delgadas. É usada também para remover ruídos da imagem e abrir pequenos vazios ou espaços entre objetos próximos numa imagem . A  B = (A  B)  B Dada por uma erosão seguida de uma dilatação com o mesmo elemento estruturante.

Abertura Original Após Abertura

Abertura

Fechamento Também derivada das operações de dilatação e erosão, trata-se da operação inversa da abertura, aplicando primeiramente uma dilatação seguida de uma erosão. Esta seqüência de operações visa restaurar conexões fracas entre objetos da imagem.

Fechamento Closing A operação de Fechamento também tende a suavizar os contornos, mas geralmente funde partes, elimina pequenos buracos e preenche fendas em um contorno. Objetos maiores não são afetados Elimina pequenos orifícios. Preenche ou fecha os vazios. Estas operações remover pixels brancos com ruídos. A  B = (A  B)  B

Fechamento Fechamento Original

Fechamento

Abertura e Fechamento

Imagens em Escala de Cinza
Na morfologia aplicada à imagens em tons de cinza, além do procedimento descrito para as operações binárias é importante o conhecimento do valor dos pixels envolvidos tanto na imagem original, quanto no elemento estruturante, para a execução das operações de mínimo ou ínfimo ()e máximo ou supremo().

As operações do mínimo e máximo em imagens de escala de cinza podem ser definidas da seguinte maneira:

dilatação: erosão: Bx f

1 Structuring element Input Image Resultant Image

1

1 Structuring element Input Image Output image

Gradiente Morfológico
Os gradientes morfológicos são operadores que aumentam as variações da intensidade de um pixel numa vizinhança determinada por um elemento estruturante A erosão/dilatação extrai para cada pixel o mínimo/máximo valor da imagem de vizinhança definida pelo elemento estruturante Variações de combinações entre esses operadores conduzem a diferentes resultados

As combinações mais usadas são Diferença aritmética entre a dilatação e a erosão Diferença aritmética entre a dilatação e a imagem original Diferença aritmética entre a imagem original e a erosão A partir dessas combinações possíveis podem ser denominados como gradiente morfológico básico ou de Beucher, gradiente, gradiente metade, gradiente espesso ou gradiente direcional

Gradiente morfológico básico ou gradiente de Beucher é definido pela diferença entre a dilatação e a erosão pelo elemento estruturante B para a imagem considerada

Os gradientes metade são bastantes úteis quando são usados para detecção de fronteiras internas ou externas de uma borda Podem ser de dois tipos: Gradiente metade por erosão ou gradiente interno é definido pela diferença entre a imagem original e imagem erodida

Gradiente metade por dilatação ou gradiente externo é definido pela diferença entre a imagem dilatada e imagem original

Gradiente espesso: Se o elemento estruturante aplicado no processo do gradiente básico é maior que o elemento estruturante elementar (por exemplo quadrado elementar) o gradiente morfologico é conhecido como gradiente espesso, predominando bordas dilatadas Sua representação (nB) significa que o elemento estruturante sera aumentado n vezes Por exemplo o quadrado elementar de 3x3 para um elemento estruturante em que o n de nB vale 2, corresponderia a um quadrado de 6x6. Temos então

Gradiente externo Gradiente interno

Gradiente Morfológico Interno

Gradiente Morfológico Externo

Variantes de Erosão e Dilatação
Os algoritmos a seguir apresentam um uso prático da morfologia matemática no processamento de imagem Skeletonization – Esqueletização Thickening – Espessamento Thinning – Afinamento Pruning – Poda Shrinking – Compressão da Imagem

Esqueletização Operação de determinação do esqueleto
Definição do esqueleto Objeto filiforme (1 pixel de largura) Que passa pelo meio do objeto E que preserva a topologia do objeto original

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