18 Análise combinatória Capítulo ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 18 – Análise combinatória CONEXÕES COM A MATEMÁTICA

Situações envolvendo contagem Consumo. Para montar seu lanche na cantina da escola, Raul pode escolher entre 2 tipos de pão (francês ou integral), 3 tipos de recheio (calabresa, presunto ou hambúrguer) e ainda se quer o sanduíche com ou sem queijo. Quantos tipos de sanduíche Raul pode montar? 18.1 18.1

Situações envolvendo contagem Raul pode fazer três tipos de escolha: E1: pão francês (f) ou integral (i); E2: recheio de calabresa (c), presunto (p) ou hambúrguer (h); E3: com queijo (cq) ou sem queijo (sq). 18.1

Situações envolvendo contagem Organizando as opções em um esquema, temos: E1 E2 E3 Sanduíche pão francês pão integral calabresa presunto hambúrguer com queijo sem queijo f c cq f c sq f p cq f p sq f h cq f h sq i c cq i c sq i p cq i p sq i h cq i h sq Esse tipo de esquema é chamado de árvore de possibilidades, também conhecido como diagrama de árvore ou diagrama sequencial. 2 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 12 possibilidades 18.1

Situações envolvendo contagem Com base no esquema, concluímos que Raul pode montar 12 tipos de sanduíche. 18.1

Situações envolvendo contagem Jogo. Vamos considerar dois lançamentos sucessivos de uma moeda. Quais resultados podem ser obtidos? Quando lançamos uma moeda, podemos obter cara (c) ou coroa (k). Lançando-a uma segunda vez, novamente podemos obter cara (c) ou coroa (k). 18.2

Situações envolvendo contagem Vamos representar esses lançamentos em uma árvore de possibilidades: cara coroa cc ck kc kk 1o lançamento 2o lançamento Resultado 2 possibilidades 4 possibilidades 18.2

Situações envolvendo contagem Outro recurso para representar todas as possibilidades é a tabela de dupla entrada: Assim, temos 4 resultados possíveis: cc, ck, kc e kk.  Cara (c) Coroa (k) cc ck kc kk 2o lançamento 1o lançamento 18.2

Princípio multiplicativo Para calcular o número de resultados possíveis de um acontecimento sem ter de listar todas as possibilidades, usamos o princípio multiplicativo, também conhecido como princípio fundamental da contagem: O princípio multiplicativo pode ser estendido para três ou mais etapas.  Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas sucessivas, A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras e se, para cada uma, B pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é m ∙ n.   18.3

Exercício resolvido R1. Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, há 7 cadeiras desocupadas. De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras?  18.4

Exercício resolvido R1. Resolução Vamos considerar que a ocupação das cadeiras ocorra em três etapas:  E1 (escolha de uma cadeira pelo 1o aluno): 7 possibilidades  E2 (escolha pelo 2o aluno após ter ocorrido E1): 6 possibilidades  E3 (escolha pelo 3o aluno após terem ocorrido E1 e E2): 5 possibilidades  Pelo princípio multiplicativo, temos: 7 ∙ 6 ∙ 5 = 210  Logo, são 210 maneiras diferentes. 18.4

Exercício resolvido R2. Transporte. Conforme vimos no início do capítulo, no Brasil, após 1990, as placas de automóvel passaram a ter 3 letras seguidas por 4 algarismos. Quantas são as possibilidades de compor placas diferentes nesse sistema? (Considere o alfabeto com 26 letras.) O diagrama abaixo representa os 7 espaços de uma placa de automóvel: 3 letras 4 algarismos 18.5

Exercício resolvido R2. Resolução Cada um dos 3 primeiros espaços pode ser preenchido com qualquer uma das 26 letras do alfabeto, e cada um dos últimos 4 espaços pode ser preenchido com qualquer um dos 10 algarismos, conforme o diagrama abaixo: 26 26 26 10 10 10 10 18.5

Exercício resolvido R2. Resolução Pelo princípio multiplicativo, o número de possibilidades de diferentes placas é: 26 ∙ 26 ∙ 26 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 175.760.000  Portanto, nesse sistema, é possível formar 175.760.000 placas.  18.5

Exercício resolvido R3. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5?  18.6

Exercício resolvido R3. Resolução O esquema abaixo representa o número de 4 algarismos:  Observe que, para o algarismo do milhar, há apenas 5 possibilidades, pois essa posição não pode ser ocupada pelo algarismo zero; nesse caso, teríamos um número com 3 algarismos, não com 4. Para cada uma das posições restantes – centena, dezena e unidade – há 6 possibilidades.  Milhar Centena Dezena Unidade 18.6

Exercício resolvido R3. Resolução Assim, pelo princípio multiplicativo, temos: 5 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 1.080  Portanto, é possível formar 1.080 números com os algarismos dados.  18.6

Exercício resolvido R4. Calcule a quantidade de números de 3 algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8.  18.7

Exercício resolvido R4. Resolução Vamos considerar o seguinte esquema, que representa o número de 3 algarismos distintos:  Centena Dezena Unidade 3 possibilidades (o algarismo deve ser diferente dos dois algarismos anteriores). 4 possibilidades (o algarismo pode ser zero, mas não pode ser igual ao algarismo das centenas). 4 possibilidades (2, 4, 6 e 8, pois o algarismo não pode ser o zero). 18.7

Exercício resolvido R4. Resolução Pelo princípio multiplicativo, temos: 4 ∙ 4 ∙ 3 = 48 Portanto, podem ser formados 48 números de 3 algarismos distintos com os algarismos dados. 18.7

Exercício resolvido R5. Quantos são os números de 4 algarismos distintos formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 e divisíveis por 5?  18.8

Exercício resolvido R5. Resolução Se um número é divisível por 5, termina em 0 ou em 5:  5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 4 ∙ 4 ∙ 3 = 48  Assim, temos 60 números terminados em 0, e 48 terminados em 5. Portanto, é possível formar 108 números divisíveis por 5.  3 possibilidades 4 possibilidades 5 possibilidades (1, 2, 3, 4, 5) (1, 2, 3 e 4) 18.8

Exercício resolvido R6. Uma prova consta de 12 questões do tipo verdadeiro ou falso. De quantos modos distintos é possível preencher o gabarito de respostas?  18.9

14442443 Exercício resolvido R6. Resolução Cada questão pode ser respondida com verdadeiro ou falso, logo há 2 possibilidades para responder cada questão. Assim, pelo princípio multiplicativo: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ ... ∙ 2 ∙ 2 = 212 = 4.096 12 fatores Logo, há 4.096 formas distintas de preencher o gabarito de respostas.  14442443 18.9

Fatorial de um número natural O fatorial de um número natural n é representado por n! (lemos: “n fatorial”) e é definido por: n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ 2 ∙ 1, para n ≥ 2 1! = 1 0! = 1  Exemplos 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3.628.800 18.10

Simplificação de expressões com fatorial Ao representar n!, podemos fazer algumas substituições. Observe:  10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 ∙ 9! 9! n! = n ∙ (n – 1)!  n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2)! e assim por diante. Esse tipo de substituição será muito usado nas simplificações de expressões. 18.11

Simplificação de expressões com fatorial Exemplos 18.11

Exercício resolvido R7. Calcule n sabendo que Resolução Observando que (n + 1)! pode ser escrito como (n + 1) ∙ n! e que 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24, temos: 18.12

Anagramas Quando trocamos a ordem das letras que formam uma palavra, obtemos um anagrama dessa palavra, que pode ter significado ou não. Vamos verificar, por exemplo, quantos anagramas é possível formar com as letras da palavra AMOR. Para a primeira letra, temos 4 possibilidades (A, M, O, R). Depois dessa escolha, há 3 possibilidades para a escolha da segunda letra, 2 para a terceira letra e 1 para a quarta letra. Logo, pelo princípio multiplicativo, temos: 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24, ou seja, 24 anagramas. 18.13

Anagramas Para determinar todos os anagramas, podemos fazer uma árvore de possibilidades: M A ROMA 1a letra 2a letra 3a letra 4a letra Anagrama O R OAMR OARM OMRA OMAR ORAM ORMA RAMO RAOM RMAO RMOA ROAM MAOR MROA MARO MOAR MORA MRAO AMOR AROM AMRO AOMR AORM ARMO 18.13

Anagramas Cada um dos anagramas corresponde a uma permutação simples das letras da palavra AMOR. De uma permutação para outra, os elementos são sempre os mesmos; eles apenas mudam de posição.  18.13

Permutação simples Permutar significa trocar a ordem dos elementos que formam um todo com a finalidade de obter uma nova configuração. Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos qualquer agrupamento ordenado (sequência) desses n elementos. Indica-se por Pn o número de permutações simples de n elementos. 18.14

Número de permutações Simples O número de permutações simples de n elementos é dado por: Pn = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ (n – 3) ∙ ... ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1, ou Pn = n! 18.15

Permutação com elementos repetidos O número de permutações de n elementos, dos quais n1 é de um tipo, n2 de um segundo tipo, ..., nk de um k-ésimo tipo, é indicado por e é dado por: 18.16

Exercício resolvido R8. Numa van com 9 assentos, viajarão 8 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 8 passageiros podem ocupar os assentos do veículo? Resolução P8 = 8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40.320  Os 8 passageiros podem ocupar os assentos de 40.320 modos.  18.17

Exercício resolvido R9. Considerando os anagramas da palavra EDITAR, quantos apresentam: a) as letras T, A e R juntas e nessa ordem? b) as letras T, A e R juntas? 18.18

Exercício resolvido R9. Resolução Se as letras T, A e R devem ficar juntas e nessa ordem, podemos considerar o bloco TAR como se fosse uma única letra. Então, basta calcular o número de permutações dos 4 elementos (E, D, I e TAR ):  P4 = 4! = 24 Logo, há 24 anagramas nas condições pedidas. Arte: Título e enunciado aparecem desde o início; O restante aparece a cada clique: Resolução 18.18

Exercício resolvido R9. Resolução Conforme o item anterior, há 4! anagramas que apresentam o bloco de letras TAR. Para cada um deles, se permutarmos as letras T, A e R entre si, teremos 3! anagramas em que as letras T, A e R permanecem juntas.  Logo, pelo princípio multiplicativo, o número de anagramas nas condições solicitadas é dado por: 4!  3! = 144 Arte: Título e enunciado aparecem desde o início; O restante aparece a cada clique: Resolução 18.18

Exercício resolvido R10. Determine quantos anagramas da palavra ELEGER começam por: a) consoante; b) vogal. 18.19

Exercício resolvido R10. Resolução a) Temos 3 possibilidades de escolher uma consoante. Tendo escolhido a primeira consoante, sobram 5 letras com 3 letras E repetidas.  Então, o número de anagramas é: b) Temos uma possibilidade de escolher uma vogal. Tendo fixado essa vogal (E), sobram 5 letras, com 2 letras E repetidas. Então, o número de anagramas é: 18.19

Exercício resolvido R11. Na figura abaixo, que representa parte do mapa de uma cidade, as ruas são indicadas com a cor cinza. Pedro sai de carro do ponto A e vai até o ponto B, dirigindo-se sempre para o norte (N) ou para o leste (L), realizando, desse modo, trajetórias de comprimento mínimo. Quantas são as possíveis trajetórias que Pedro pode fazer?  18.20

Exercício resolvido R11. Resolução Observe algumas das trajetórias possíveis:     (L, N, L, N, L, N, N) (N, L, L, N, N, N, L) (L, N, N, N, N, L, L)  18.20

Exercício resolvido R11. Resolução Note que, qualquer que seja o caminho, Pedro fará sempre 4 movimentos para o norte e 3 para o leste, só alterando a ordem em que realiza esses movimentos. Assim, cada trajetória pode ser representada por uma sequência de 7 termos, sendo 4 iguais a N e 3 iguais a L.   Para determinar o número de trajetórias, basta calcular o número de permutações de 7 elementos com repetição de 4 e de 3. Logo, há 35 trajetórias possíveis.  18.20

Arranjo simples Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento ordenado (sequência) de p elementos distintos, escolhidos entre os n possíveis. Indica-se por An,p, ou o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p. 18.21

Número de arranjos simples Vejamos como calcular o número de arranjos simples no caso geral de n elementos tomados p a p, com 0 < p ≤ n, indicado por . Existem n possíveis escolhas para o primeiro elemento do agrupamento, n – 1 possíveis escolhas para o segundo elemento, n – 2 para o terceiro elemento, ..., n – (p – 1) possíveis escolhas para o p-ésimo elemento do agrupamento.   18.22

Número de arranjos simples Então, aplicando o princípio multiplicativo, o número de arranjos simples de n elementos p a p é:  An,p = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ ... ∙ [n – (p – 1)], 0 < p < menor ou igual > n. p fatores 18.22

Número de arranjos simples Desenvolvendo a expressão do 2o membro e multiplicando-o por , temos:    Então:  An,p = 18.22

Exercício resolvido R12. Quantos números de 3 algarismos diferentes é possível escrever com os algarismos 1, 2, 3, 6 e 7?  18.23

Exercício resolvido R12. Resolução Os problemas que envolvem permutações ou arranjos simples podem ser resolvidos por meio da fórmula ou do princípio multiplicativo. A escolha do recurso a ser usado na resolução varia conforme o problema. Vamos resolver esse exercício dos dois modos.  1o modo: usando a fórmula Devemos calcular a quantidade de arranjos simples dos 5 algarismos tomados 3 a 3, assim:  18.23

Pelo princípio multiplicativo: Exercício resolvido R12. Resolução 2o modo: usando o princípio multiplicativo Fazendo um esquema para representar o número de 3 algarismos diferentes, escolhidos entre 1, 2, 3, 6 e 7, temos:  Pelo princípio multiplicativo: 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60   Portanto, podemos escrever 60 números de 3 algarismos distintos com os algarismos dados. 3 possibilidades 4 possibilidades 5 possibilidades 18.23

Exercício resolvido R13. Numa sala existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas 2 pessoas podem se sentar nessas cadeiras, deixando ao menos uma cadeira entre elas?  18.24

Exercício resolvido R13. Resolução Vamos considerar que os números das cadeiras escolhidas pelas pessoas A e B formam um par ordenado. Assim, o par ordenado (2, 5) significa que a pessoa A ocupa a cadeira número 2, enquanto a pessoa B ocupa a cadeira número 5. Já o par ordenado (5, 2) significa que a pessoa A ocupa a cadeira número 5, enquanto a pessoa B ocupa a cadeira número 2. 18.24

Exercício resolvido R13. Resolução O total de maneiras diferentes para as cadeiras serem ocupadas pelas duas pessoas será dado pelo número de pares ordenados formados com os números das cadeiras, que pode ser calculado da seguinte maneira:     Logo, podem ser formados 90 pares ordenados. Mas existe uma restrição: as pessoas A e B não podem se sentar juntas. 18.24

Exercício resolvido R13. Resolução Isso significa que A e B não devem ocupar cadeiras cujos números são consecutivos. Assim, devemos descobrir quantos são os pares ordenados cujos elementos são consecutivos para subtraí-los dos 90 pares ordenados possíveis.   Os pares ordenados formados por números consecutivos são: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5), (7, 6), (8, 7), (9, 8) e (10, 9), totalizando 18 pares. 18.24

Exercício resolvido R13. Resolução Fazendo 90 – 18, concluímos que existem 72 maneiras para as duas pessoas se sentarem, com pelo menos uma cadeira entre elas.  18.24

Combinação simples Dado um conjunto de n elementos, chama-se combinação simples dos n elementos, tomados p a p, qualquer agrupamento não ordenado (subconjunto) de p elementos escolhidos entre os n possíveis. Indica-se por Cn,p ou o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, com p ≤ n.  18.25

Número de combinações simples O número total de combinações de n elementos tomados p a p é igual ao quociente entre o número de arranjos (An,p) e o número de permutações (p!):    Portanto: 18.26

Exercício resolvido R14. Dentre 10 alunos de uma turma de 3o ano, três serão escolhidos para formar a comissão de formatura. De quantos modos distintos é possível formar essa comissão?  Resolução Nesse caso, a ordem de escolha dos alunos não altera a comissão. Assim, o número de comissões possíveis é dado por:    Portanto, há 120 possibilidades de formar a comissão de formatura. 18.27

Exercício resolvido R15. Loteria. Para fazer uma aposta da Lotofácil, devem-se marcar 15 números entre os 25 que constam no volante. De quantas maneiras é possível preencher um cartão da Lotofácil? REPRODUÇÃO 18.28

Exercício resolvido R15. Resolução Nessa loteria, a ordem de escolha dos números não muda a aposta. Podemos, então, calcular o número de combinações de 25 elementos, tomados 15 a 15:  Logo, há 3.268.760 possibilidades de preencher um cartão da Lotofácil.  18.28

Exercício resolvido R16. Geometria. Considerando 6 pontos, pertencentes a um mesmo plano e distribuídos de tal forma que quaisquer 3 pontos não sejam colineares, determinar quantos triângulos podem ser formados com 3 desses pontos como vértices. Resolução A ordem em que tomamos os vértices de um triângulo não altera o triângulo. Logo, temos um problema envolvendo combinação.  Portanto, podem ser formados 20 triângulos distintos. 18.29

Exercício resolvido R17. Para fazer um trabalho, os 30 alunos de uma turma serão divididos em grupos de 4 pessoas. Há 20 garotas e 10 garotos nessa turma. Quantas equipes diferentes podem ser formadas: a) se não houver restrições quanto ao sexo? b) com 2 garotas e 2 garotos?  18.30

Exercício resolvido R17. Resolução Nesse caso, as 4 pessoas devem ser escolhidas entre o total de 30 alunos. O número de equipes possíveis de 4 pessoas, escolhidas entre 30, é 27.405.    Nesse caso, a escolha deverá ocorrer em duas etapas: E1: escolher 2 das 20 garotas; E2: escolher 2 dos 10 garotos. 18.30

Exercício resolvido R17. Resolução Pelo princípio multiplicativo, temos: O número de equipes possíveis com 2 garotas e 2 garotos é 8.550. Arte: Título e enunciado aparecem desde o início; O restante aparece a cada clique: Resolução 18.30

Coeficiente binomial Dados dois números naturais n e k, com n ≥ k, chamamos de coeficiente binomial n sobre k ou número binomial n sobre k, e indicamos por , o número:  Dizemos que n é o numerador e k é o denominador do coeficiente binomial. 18.31

Coeficiente binomial Exemplos O coeficiente binomial 7 sobre 4 é:   O coeficiente binomial 11 sobre 2 é:  18.31

Coeficiente binomial Observe o cálculo do coeficiente binomial n sobre k para alguns valores de k:  Para k = 0: Para k = n: Para k = 1: 18.31

Coeficientes binomiais complementares Dois coeficientes binomiais são complementares se apresentam o mesmo numerador e se a soma de seus denominadores é igual a esse numerador, isto é: são complementares se p + q = n  18.32

Igualdade de coeficientes binomiais Considerando dois coeficientes binomiais complementares , temos:  Assim: Dois coeficientes binomiais são iguais se têm o mesmo numerador e o mesmo denominador, ou se eles são complementares. 18.33

Igualdade de coeficientes binomiais Exemplos a) b) c) d) 18.33

Triângulo de Pascal Chamamos de triângulo de Pascal a disposição dos coeficientes binomiais em linhas e colunas de forma que os coeficientes binomiais de mesmo numerador fiquem dispostos numa mesma linha, e os de mesmo denominador sejam posicionados numa mesma coluna. 18.34

Triângulo de Pascal coluna 0 Linha 0 coluna 1 Linha 1 coluna 2 Linha 2 Linha n coluna 0 coluna 1 coluna 2 coluna 3 coluna 4 coluna 5 coluna n 18.34

Triângulo de Pascal Calculando os valores dos coeficientes binomiais, encontramos outra representação para o triângulo de Pascal:  1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 18.34

Propriedades do triângulo de Pascal 1a propriedade Todas as linhas do triângulo de Pascal começam e terminam por 1, pois esses elementos são do tipo = 1 e = 1 Exemplos a) Na linha 6, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento é = 1. b) Na linha 12, o primeiro elemento é = 1 e o último elemento é = 1. 18.35

Propriedades do triângulo de Pascal 2a propriedade Em qualquer linha do triângulo de Pascal, os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais. A justificativa dessa propriedade está no fato de os coeficientes equidistantes dos extremos serem representados por coeficientes binomiais complementares.  18.35

Propriedades do triângulo de Pascal Exemplos a) Na linha 5 do triângulo, temos: b) Na linha 8 do triângulo, temos: 18.36

Propriedades do triângulo de Pascal 3a propriedade – Relação de Stifel Cada elemento , da linha n, coluna k, com 0 < k < n, é igual à soma dos elementos que estão na linha n – 1, nas colunas k –1 e k. Ou seja: Essa é a chamada relação de Stifel. 18.37

Propriedades do triângulo de Pascal 3a propriedade – Relação de Stifel Exemplo 18.37

Propriedades do triângulo de Pascal 4a propriedade A soma dos elementos de cada linha do triângulo de Pascal é igual a uma potência de 2, em que o expoente é igual à posição da linha, ou seja, a soma dos elementos da linha n é igual a 2n.  18.38

Propriedades do triângulo de Pascal Exemplo Observe a soma dos elementos das primeiras 5 linhas do triângulo de Pascal: Linha 0 1 soma = 20 = 1 Linha 1 1 1 soma = 21 = 2 Linha 2 1 2 1 soma = 22 = 4 Linha 3 1 3 3 1 soma = 23 = 8 Linha 4 1 4 6 4 1 soma = 24 = 16 18.38

Propriedades do triângulo de Pascal 5a propriedade A soma dos elementos da coluna k, desde o primeiro elemento até o elemento da linha n, é igual a .  Exemplo 1 + 1 + 1 + 1 = 4 1 1 + 2 + 3 = 6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 18.39

Propriedades do triângulo de Pascal 6a propriedade A soma dos elementos da diagonal n, desde o primeiro elemento até o elemento da coluna k, é igual a .  Exemplo Diagonal 0 Diagonal 1 Diagonal 2 Diagonal 3 Diagonal 4 Diagonal 5 1 + 1 + 1 + 1 = 4 1 + 3 + 6 = 10 18.40

Somatório Na sequência (am, am+1, am+2, ..., an–1, an), a soma dos termos am+ am+1 + am+2 + ... + an–1 + an pode ser representada por com m e n naturais e m < n. (lemos: “somatório de ai com i variando de m a n”). Exemplos 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 1 + + +...+ = 18.41

Somatório na representação da soma de coeficientes binomiais a) Soma dos coeficientes binomiais da linha 8 do triângulo de Pascal:  b) Soma dos coeficientes binomiais da linha n do triângulo de Pascal: 18.42

Somatório na representação da soma de coeficientes binomiais c) Soma dos coeficientes binomiais da coluna 3 do triângulo de Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da linha 7: d) Soma dos coeficientes binomiais da coluna k do triângulo de Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da linha n:  18.42

Somatório na representação da soma de coeficientes binomiais e) Soma dos coeficientes binomiais da diagonal n do triângulo de Pascal, desde o primeiro até o coeficiente da coluna k: 18.42

Exercício resolvido R18. Resolva a seguinte equação: 18.43

Exercício resolvido R18. Resolução Aplicando a relação de Stifel ao 1o membro da equação, temos: 18.43

Exercício resolvido R18. Resolução A igualdade é verdadeira se: O numerador e o denominador dos coeficientes binomiais são iguais:  2q + 1 = q – 1 ⇒ q = –2 (Esse resultado não é conveniente, pois os termos que compõem os binômios da equação devem ser positivos.) Os coeficientes binomiais são complementares:  (2q + 1) + (q – 1) = 5q + 14 ⇒ q = 7  18.43

Exercício resolvido R18. Resolução Como há condições para a existência de um coeficiente binomial e condições para a validade das propriedades, é recomendável que sempre se faça a verificação ao encontrar as supostas soluções de uma equação com coeficientes binomiais. Vamos fazer a verificação para a equação dada: Como 15 + 6 = 21, a igualdade é verdadeira. Portanto, o conjunto solução é S = {7}.  18.43

Exercício resolvido R19. Calcule o valor de . Resolução A expressão é a soma dos elementos da coluna 8 do triângulo de Pascal.  Portanto: 18.44

Binômio de Newton Observe o desenvolvimento de (x + y)n para alguns valores de n:  (x + y)0 = 1  (x + y)1 = (x + y) = 1x + 1y  (x + y)2 = (x + y) ∙ (x + y) = 1x2 + 2xy + 1y2  (x + y)3 = (x + y) ∙ (x + y)2 = (x + y) ∙ (x2 + 2xy + y2) = = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3  (x + y)4 = (x + y)2 ∙ (x + y)2= (x2 + 2xy + y2) ∙ (x2 + + 2xy + y2) = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 18.45

Binômio de Newton Note que os coeficientes do desenvolvimento de cada potência (x + y)n são iguais aos elementos da linha n do triângulo de Pascal:  Linha 0 1 (x + y)0 =1 Linha 1 1 1 (x + y)1 =1x + 1y Linha 2 1 2 1 (x + y)2 =1x2 + 2xy + 1y2 Linha 3 1 3 3 1 (x + y)3 =1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 Linha 4 1 4 6 4 1 (x + y)4 =1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3+ 1y4 18.45

Binômio de Newton Assim, podemos escrever: 18.45

Binômio de Newton De maneira geral, sendo n um número natural, temos a seguinte igualdade, conhecida como fórmula do binômio de Newton: 18.45

Termo geral do binômio de Newton Um termo geral, que ocupa a posição k + 1 no desenvolvimento de (x + y)n, é dado por: 18.46

Exercício resolvido R20. Desenvolva a potência (x – 3)5 usando a fórmula do binômio de Newton.  Resolução Utilizando a fórmula do binômio de Newton, temos: Portanto:  18.47

Exercício resolvido R21. Calcule o valor de m sabendo que: Resolução De acordo com a fórmula do binômio de Newton, temos:  Resolvendo a equação exponencial 3m = 243, obtemos m = 5.  18.48

Exercício resolvido R22. Determinar o décimo sexto termo do desenvolvimento do binômio (3p + q3)16, com os termos ordenados por expoentes decrescentes de p.  Resolução Aplicando a fórmula do termo geral do desenvolvimento de (x + y)n, temos: Logo, o décimo sexto termo é 48pq45.  18.49

Exercício resolvido R23. Verifique se há termo independente de x no desenvolvimento de .  Resolução   Assim, sendo k ∈ ℕ e 0 ≤ k ≤ 8, o termo geral é:  18.50

Exercício resolvido R23. Resolução O termo independente de x tem expoente de x igual a zero: 8k – 16 = 0 ⇒ k = 2  Portanto, o termo independente de x é:  18.50

Exercício resolvido R24. Determinar o coeficiente que multiplica o termo em que aparece x2 no desenvolvimento da expressão:  Resolução Em cada uma das parcelas, o coeficiente do termo em que aparece x2 é dado, respectivamente, por:  Esses coeficientes estão dispostos numa diagonal do triângulo de Pascal. Então: (x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5  18.51

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