Fundamentos sobre Árvores Uma árvore é um conjunto finito de n nós com n > 0. Quando n = 0 temos uma árvore nula. Supondo que n > 0 temos uma árvore com as seguintes características: Existe um nó especial chamado raiz; Os demais são particionados em T1, T2, . . . . . , TK estruturas disjuntas de árvores denominadas subárvore. Como as estruturas são disjuntas, garante-se que um nó não aparecerá em mais de uma subárvore.

Grau: Representa o número de subárvores de um nó Grau: Representa o número de subárvores de um nó. O nó “a” da árvore da figura tem grau 3. Já o nó “h” tem grau 2. Nó folha ou terminal: É o nó que possui grau 0, ou seja, não possui subárvores. Na figura, os nós ‘e’, ’g’, ’k’, ’l’, ’m’, ’i’ e ‘j’ são folhas. Grau de uma árvore (n-aridade): É definido como sendo igual ao máximo dos graus de todos os seus nós. Na figura o grau da árvore é 3. Nós filhos: São as raízes das subárvores de um nó, e este nó é o pai delas. Considerando a figura, os nós ‘e’, ‘f’ e ‘g’ são filhos do nó ‘b’. O nó ‘b’, por sua vez, é filho do nó ‘a’. Nós irmãos: São os nós filhos que apresentam o mesmo pai (existe ainda nó ancestral, descendente, descendente esquerdo ou direito). Os nós ‘e’, ‘f’, e ‘g’, são nós irmãos, porque têm o mesmo pai ’b’. Nível: Nível de um nó é sua distância da raiz da árvore. Como a raiz tem uma distância zero de si própria, diz-se que ela tem nível 0. Na figura os nós ‘b’ , ‘c’ e ‘d’ estão no nível 1. Os nós ‘e’, ‘f’, ‘g’, ‘h’, ‘i’ e ‘j’ estão no nível 2.E, finalmente, os ‘k’, ‘l’ e ‘m’ estão no nível 3 Altura (também denominada por profundidade): É o nível do nó folha que tem o mais longo caminho até a raiz, somado um. Por definição, a altura de uma árvore vazia é -1 . A altura da árvore da figura é 4. Observe a figura:

Representação de uma Árvore c d i j h m l b g f e k Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3

Arvores Binárias Trata-se de uma árvore que pode ser nula ou apresentar as seguintes características: Um nó especial chamado raiz; Os demais nós são partiocinados em T1, T2 estruturas disjuntas de árvores binárias. A estrutura T1 é chamada de subárvore esquerda e T2 subárvore direita da raiz. Cada subárvore é também, por definição, uma árvore binária; Considerando que precisamos armazenar n nós em uma árvore binária, sua altura máxima é obtida por Hmax = n ; entretanto uma árvore binária com altura máxima é rara. Isso ocorre quando a árvore inteira é construída em uma única direção. A altura mínima é determinada por hmax = (log2 N) + 1 ; Dada a altura da árvore binária h, o número mínimo e máximo de nós é conseguido pelas fórmulas nmin = h e nmax = 2h – 1 ; Árvores binárias estritamente binária: Ocorre quando todo nó que não é folha tiver subarvores esquerda e direita não vazias. Uma árvore estritamente binária com n folhas contém sempre 2n – 1 nós ; Árvore binária completa : È uma árvore estritamente binária de profundidade d , cujas folhas estejam no nível d. Considerando tn como o número total de nós em uma árvore binária completa de altura h, observamos a seguinte relação: Tn = 2h - 1 ; Uma árvore binária completa contém muitos nós, porém a distância do nó-raiz até qualquer folha (altura da árvore) pode ser considerada pequena.

Duas árvores binárias distintas com subárvores nulas

Árvore Estritamente Binária C D F E G

Árvore Binária completa de altura 4 J K F L M G N O B C A D H I

Árvore de busca binária e ilustração das propriedades dessa Árvore f Todos < x Todos ≥ x

14 4 15 3 9 14 18 7 9 16 20 5 17 4 5

Representação de um nó em uma árvore binária struct tree { char info; struct tree *esq, *dir; }; Typedef struct tree *TREEPTR;

void tInsere (TREEPTR *plist , char x) { if ( ( *plist) ==NULL) ( *plist=(TREEPTR) malloc (sizeof (struct tree) ) ; (*plist) ->info=x; (*plist)->esq=NULL; (*plist)->dir=NULL; } else{ if (x<(*plist)->info){ tInsere (&((*plist)->esq),x); else tInsere (&((*plist)->dir),x);

Pesquisa de um elemento Se T é uma árvore nula, não há o que pesquisar Se a raiz de T armazena o elemento x, a solução é imediata Se x é menor que o valor da raiz de T, a busca prossegue na subarvore esquerda de T Se x é maior ou igual a T, a busca prossegue na subarvore direita de T

TREEPTR tPesq(TREEPTR *plist, char x) { if (*plist==NULL) /*elemento nao encontrado */ return (NULL) ; else if (x== (*plist)->info) /*elemento encontrado na raiz*/ return(*plist); if (x<(*plist)->info) /*procura-o numa subarvore*/ return(tPesq(&((*plist)->esq),x)); return(tPesq(&((*plist)->dir),x)); }

Remoção de um elemento Se a raiz não possui filhos, a solução é imediata. Podemos removê-la e anular T Se a raiz possui um único filho,podemos remover o nó pai e o nó filho toma seu lugar Se a raiz possui dois filhos o nó com maior elemento à esquerda é removido. Seu elemento é colocado na raiz da árvore

(a) Remoção do nó (41) sem nenhum filho Antes Depois t t 20 20 15 41 15 (a) Remoção do nó (41) sem nenhum filho

(b) Remoção do nó (41) com nenhum filho à esquerda. Antes Depois t t 20 20 15 41 15 49 9 49 9 (b) Remoção do nó (41) com nenhum filho à esquerda.

(b) Remoção do nó (15) com nenhum filho à direita. Antes Depois t t 20 20 15 41 9 41 9 49 49 (b) Remoção do nó (15) com nenhum filho à direita.

(b) Remoção do nó (20) com 2 filhos. Antes Depois t t 20 11 9 41 9 41 11 5 49 5 49 (b) Remoção do nó (20) com 2 filhos.

TREEPTR tMaior (TREEPTR *plist) { TREEPTR t; t=*plist; if (t->dir=NULL) { *plist= (*plist)->esq; return (t); } else return (tMaior (&((*plist) ->dir)));

int tRemove (TREEPTR *plist , char *x) { TREEPTR p; if (*plist==NULL) return(1); /*elemento nao encontrado */ if ((*x==(*plist)->info)==1) /*elemento encontrado na raiz */ p=*plist; if ((*plist)->esq==NULL) *plist=(*plist)-> dir; /* a raiz nao tem filho esquerdo */ else if((*plist)->dir==NULL) *plist=(*plist)->esq; /* a raiz nao tem filho direito */ /* a raiz tem ambos os filhos */ p=tMaior(&((*plist)->esq) ); (*plist) -> info=p ->info; } free (p); printf (“\nElemento achado e removido”) ; if ((*x<(*plist)->info)==1) tRemove(&((*plist)->esq).x) ; /*procura na subarvore esquerda */ tRemove(&((*plist)->dir).x) ; /*procura na subarvore direita */