Calculo algorítmico e outras formas de cálculo Fátima Mendes Catarina Delgado Joana Castro Lurdes Serrazina

O que se entende por algoritmo? Sumário O que se entende por algoritmo? O que nos diz o PMEB sobre a aprendizagem dos algoritmos? Cálculo associado à aprendizagem da subtracção ‘Caminhar’ progressivamente para o algoritmo da subtracção Cálculo associado à aprendizagem da divisão ‘Caminhar’ progressivamente para o algoritmo da divisão A estimação no PMEB A calculadora no PMEB

O que se entende por algoritmo? Existem muitas definições, nem sempre consensuais. Um algoritmo de uma operação é um conjunto de procedimentos ordenados relativos a dígitos. No caso da adição, subtracção e multiplicação trabalha-se da direita para a esquerda. 536 + 182 718 153 42 111 23 x 17 161 391

O que nos diz o PMEB sobre a aprendizagem dos algoritmos? Valorizar o sentido de número A aprendizagem dos algoritmos deve ser realizada com compreensão

O que nos diz o PMEB sobre a aprendizagem dos algoritmos? Valorizar o sentido de número A aprendizagem dos algoritmos deve ser realizada com compreensão Foco na compreensão e no uso flexível de procedimentos

O que nos diz o PMEB sobre a aprendizagem dos algoritmos? Valorizar o sentido de número A aprendizagem dos algoritmos deve ser realizada com compreensão Foco na compreensão e no uso flexível de procedimentos Desenvolver gradualmente

O que nos diz o PMEB sobre a aprendizagem dos algoritmos? Valorizar o sentido de número A aprendizagem dos algoritmos deve ser realizada com compreensão Foco na compreensão e no uso flexível de procedimentos Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional

Calcular em coluna com compreensão Um exemplo: calcular 27 x 43 Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional 40 3 20 20x40 =800 20x3=60 7 7x40=280 7x3=21 4 3 x 2 7 8 6 1 20 4 3 x 2 7 1 8 6 4 3 x 2 7 1 8 6 7

O que nos diz o PMEB sobre a aprendizagem dos algoritmos? 1.º ciclo 1.º e 2.º ano 3.º e 4.º ano Números naturais Compreender e memorizar factos básicos da adição e relacioná-los com os da subtracção Utilizar estratégias de cálculo mental e escrito para as quatro operações usando as suas propriedades. Estimar somas, diferenças e produtos Compreender e realizar algoritmos para as operações de adição e subtracção Adicionar, subtrair e multiplicar utilizando a representação horizontal e recorrendo a estratégias de cálculo mental e escrito Compreender e realizar algoritmos para as operações multiplicação e divisão (apenas com divisores até dois dígitos) Números racionais não negativos Estimar e calcular mentalmente com números racionais não negativos representados na forma decimal

Cálculo associado à aprendizagem da subtracção Manter o foco na compreensão e no uso flexível de procedimentos Relacionar a subtracção com a adição Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional 500 – 250 = 500 – 240 = 510 – 250 = 500 – 260 = 520 – 250 = 61 – 20 = 61 – 19 = 60 ­ 30 = 60 – 31 = 61 ­ 29 =

Caminhar progressivamente para o algoritmo da subtracção Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo usual 3 2 5 - 1 6 7 4 8 3 2 5 - 1 6 7 8 160 158

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da compensação 3 2 5 - 1 6 7

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da compensação +10 3 2 5 - 1 6+1 7 (325 +10) – (167 +10)

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da compensação 3 2 15 - 1 7 8 (325 +10) – (167 +10)

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da compensação +10 3 2 15 - 1 +1 7 7 8 (325 +10+100) – (167 +10+100)

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da compensação 3 12 15 - 2 7 5 8 (325 +10+100) – (167 +10+100)

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da compensação 3 2 5 - 7 1 8 (325 +10+100) – (167 +10+100) 435 – 277 Realizámos a diferença 435-277 em vez de 325-167 Uso da propriedade da invariância do resto, na subtracção

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da decomposição 3 2 5 - 1 6 7 (300 + 20 + 5)

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da decomposição 1 +10 3 2 5 - 6 7

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da decomposição 3 1 15 - 6 7 8 (300 + 20 + 5) (300 + 10 + 15)

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da decomposição 2 +10 3 1 5 - 6 7 8

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da decomposição 2 11 5 - 1 6 7 8 (300 + 20 + 5) (300 + 10 + 15) (200 + 110 + 15)

Algoritmos ‘usuais’ da subtracção Algoritmo da decomposição 2 11 15 - 1 6 7 5 8

Cálculo associado à aprendizagem da divisão Manter o foco na compreensão e no uso flexível de procedimentos Relacionar a divisão com a multiplicação Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional 64 : 4 = 64 : 8 = 32 : 8 = 32 : 4 = 21:3= 30:3= 51:3= 60:3= 81:3=

Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional Um exemplo – calcular 81:3 a partir da disposição rectangular Qual é o número que multiplicado por 3 é igual a 81?   3 ? 81

Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional Um exemplo – calcular 81:3 a partir da disposição rectangular Eu sei que 10x3=30, que 20x3=60 e que 30x3=90 (já ultrapassa!)   3 20 20 x 3=60 81

Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional Um exemplo – calcular 81:3 a partir da disposição rectangular 60 para 81 ainda faltam 21. Qual é o número que multiplicado por 3 é 21? É o 7.   3 20 20 x 3=60 7 7 x 3=21 81

Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional Um exemplo – calcular 81:3 a partir da disposição rectangular 81:3=27 porque 27x3=81   3  27 20 20 x 3=60 7 7 x 3=21 81

Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional Um exemplo – calcular 81:3   3 20 20 x 3=60 81 3 - 60 20 (20x3=60) 21 81

Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional Um exemplo – calcular 81:3   3  27 20 20 x 3=60 7 7 x 3 = 21 81 3 - 60 20 (20x3=60) 21 + 7 (7x3=21) - 21 27 00 81

Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional Um exemplo – calcular 81:3 81 3 - 30 10 (10x3=30) 51 21 - 21 + 7 (7x3=21) 00 27 81 3 - 60 20 (20x3=60) 21 + 7 (7x3=21) - 21 27 00

Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão Calcular mentalmente de modo flexível Calcular em coluna com compreensão ‘Chegar’ ao algoritmo convencional Um exemplo – calcular 81:3 81 3 - 6 27 21 - 21 00

Caminhar progressivamente para o algoritmo da divisão Calcular em coluna com compreensão Um exemplo com números maiores Calcular 4523:27 4523 27 -2700 100 (100x27=2700) 1823 - 1350 50 (50x27=1350) 0473 (10x27=270) 10 - 270 203 - 135 5 (5x27=135) 68 - 54 + 2 (2x27=54) 14 167

Formas de cálculo Cálculo em coluna Cálculo mental Cálculo algorítmico

Formas de cálculo Cálculo em coluna Cálculo mental Estimação Cálculo algorítmico

Tipos de estimação (mais usuais) Cálculo usando números arredondados, apesar dos dados serem valores exactos Cálculo usando valores estimados, porque os dados necessários estão incompletos ou indisponíveis Adaptado de van den Heuvel-Panhuizen (2001)

Tipos de estimação (mais usuais) Cálculo usando números arredondados, apesar dos dados serem valores exactos Estimação Transformar os dados numéricos em números ‘redondos’ ou mais ‘fáceis’ e realizar um cálculo exacto com esses números. Preciso de comprar quatro garrafas de sumo, a 1,98 € cada. Só tenho uma nota de 10 €. Será que o dinheiro é suficiente? Não é necessário o cálculo exacto do preço de quatro garrafas, basta calcular 4x2 e comparar com 10. Adaptado de van den Heuvel-Panhuizen (2001)

Tipos de estimação (mais usuais) Cálculo com valores estimados porque os dados necessários estão incompletos ou indisponíveis Estimação A grandeza dos números é determinada aproximadamente. São dados os limites ou podem ser estabelecidos. É necessário, também, conhecimento sobre como arredondar números e como calcular com números ‘redondos’. Um Cd de música custa entre 12 € e 14 €. Quanto podem custar cinco Cds? O preço dos Cds varia entre dois valores.

Tipos de estimação (mais usuais) Cálculo com valores estimados porque os dados necessários estão incompletos ou indisponíveis Estimação Requer o conhecimento de grandezas, antes do cálculo aproximado. É necessário, também, conhecimento sobre como arredondar números e como calcular com números ‘redondos’. Aproximadamente, quantos minutos tem uma semana? É preciso saber as relações entre semanas, dias, horas e minutos.

A estimação no PMEB 1.º Ciclo 2.º Ciclo 3.º Ciclo 1.º e 2.º anos Operações com números naturais Estimar somas, diferenças e produtos Realizar estimativas e avaliar a razoabilidade de um dado resultado em situações de cálculo Números racionais não negativos Estimar e calcular mentalmente com números racionais não negativos representados na forma decimal Determinar o valor aproximado de um número e estimar a resposta a problemas envolvendo números inteiros e racionais não negativos Números reais Determinar valores aproximados por defeito (excesso) da soma e do produto de números reais, conhecidos valores aproximados por defeito (excesso) das parcelas e factores

A decisão pela forma de cálculo perante um problema Estimação é suficiente É necessária uma resposta exacta Organização do cálculo Organização do cálculo Estimar a resposta mentalmente Estimar antes de calcular Uso de cálculos com papel e lápis ou uso da calculadora Cálculo mental Feito Feito Feito Adaptado de van den Heuvel-Panhuizen (2001)

A calculadora no PMEB Nos programas anteriores e no PMEB: a calculadora é um dos recursos, considerado importante, no trabalho com os números e as operações durante os três primeiros ciclos de escolaridade referem-se aspectos globais sobre a importância do uso da calculadora e identificam-se situações gerais que justificam a sua utilização. No PMEB identificam-se situações concretas, ao longo dos três ciclos, em que é fundamental usar a calculadora, e outras em que não é.

A calculadora no PMEB Nos programas anteriores e no PMEB: a calculadora é um dos recursos, considerado importante, no trabalho com os números e as operações durante os três primeiros ciclos de escolaridade referem-se aspectos globais sobre a importância do uso da calculadora e identificam-se situações gerais que justificam a sua utilização. No PMEB identificam-se situações concretas, ao longo dos três ciclos, em que é fundamental usar a calculadora, e outras em que não é.

Calculo algorítmico e outras formas de cálculo Fátima Mendes Catarina Delgado Joana Castro Lurdes Serrazina