Fundamentos Teóricos e Metodológicos sobre ensino-aprendizagem de Números e Medidas FSA-2011 Antonio Carlos Brolezzi brolezzi@usp.br

Aula 3 FSA-2011 Antonio Carlos Brolezzi brolezzi@usp.br

Quantas unidades, quantas dezenas e quantas centenas há em 825?

Video Pequenos Cientistas

10.500.000 Escreva o número de três formas diferentes Qual ou quais formas são mais usadas pela mídia para escrever números? O que isso acarreta no nosso ensino?

Atividade Valores Eu tenho as seguintes moedas: 2 x R$ 0,01 Qual o total de preços diferentes que poderei pagar sem receber troco?

Atividade Valores Eu tenho as seguintes moedas: 2 x R$ 0,01 Qual o total de preços diferentes que poderei pagar sem receber troco? Resp: 26 preços diferentes

Atividade Valores Qual o menor número de notas (e moedas) de que necessito para compor R$ 87,76?

Resp: 50+20+10+5+1+1+0,50+0,25+0,01 = 4 notas e 5 moedas Atividade Valores Qual o menor número de notas (e moedas) de que necessito para compor R$ 87,76? Resp: 50+20+10+5+1+1+0,50+0,25+0,01 = 4 notas e 5 moedas

Atividade Tempo Quantos horas, minutos e segundos tem um ano de 365 dias? 8760 horas, 525.600 minutos e 31.536.000 segundos

Atividade Calendário O que é o ano bissexto?

Atividade - Calendário Ano bissexto O ano bissexto tem 366 dias, um dia a mais que os anos comuns. Coloca-se 1 dia extra a cada 4 anos no mês de fevereiro, que passa a ter 29 dias. Ocorre geralmente de 4 em 4 anos, já que o ano bissexto é divisível por 4. Mas, se o ano terminar em 00, deve ser também divisível por 400 Exemplo: o ano 2000 foi bissexto, pois termina em 00 mas é divisível por 400. Mas o ano 2100 não será, pois não é divisível por 400.

Ano bissexto A razão é que o ano de fato dura 365,25 dias. Ou seja, a terra demora aproximadamente 365,25 dias solares para dar uma volta completa ao redor do Sol. O ano comum (por convenção) tem 365 dias. Portanto, faltam aproximadamente seis horas (0,25 dia) a cada ano. Para simplificar, as horas excedentes serão somadas e, a cada quatro anos, adicionadas ao calendário na forma de um dia (4 X 6 horas = 1dia).

Atividade Comprimento Uma polegada = 2,54 cm Um pé = 30,48 cm Uma jarda = 91,44 cm Quantos polegadas tem um pé? Quantos pés tem uma jarda? Questão: Essas unidades são usadas até hoje? Por quê?

Qual o tamanho da tela de uma televisão de 22 polegadas? Atividade Comprimento Qual o tamanho da tela de uma televisão de 22 polegadas?

Que unidade de medida você utilizaria para medir a velocidade: Atividade Velocidade Que unidade de medida você utilizaria para medir a velocidade: De um automóvel? De uma formiga? Da luz?

Que unidade de medida você utilizaria para medir a velocidade: Atividade Velocidade Que unidade de medida você utilizaria para medir a velocidade: De um automóvel? Km/h (quilômetro por hora) De uma formiga? (milímetros por segundo) Da luz? Km/s (quilômetros por segundo)

Depois do Sol, qual a distância da estrela mais próxima da Terra? Atividade Distâncias Depois do Sol, qual a distância da estrela mais próxima da Terra?

Atividade - Velocidade Qual a distância da estrela mais próxima? A estrela mais próxima de Terra depois do Sol é Alfa Centauro. Ela concentra-se a uma distância de 40 trilhões de quilômetros (40.000.000.000.000) da Terra. Mas, como as distâncias no Universo são imensas, fica difícil utilizar números com tantos zeros.

Atividade - Velocidade Qual a distância da estrela mais próxima? Para facilitar a compreensão das distâncias, utilizamos então a unidade de medida chamada ano-luz, que nada mais é do que a distância percorrida pela luz em um ano. A luz viaja a uma velocidade de 300 mil quilômetros por segundo (nada viaja mais rápido do que ela), percorrendo 9,46 trilhões de quilômetros por ano entre os astros. Assim , a distância de Alfa Centauro até nós passa a ser de 4,2 anos-luz (40 trilhões / 9,46).

Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico? Atividade Volume e capacidade Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico?

Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico? Atividade Capacidade Quantos litros de água tem no Oceano Atlântico? O Oceano Atlântico tem um volume médio de 323.600.000 quilômetros cúbicos. Cada quilômetro cúbico equivale a 1.000.000.000.000 litros (um trilhão de litros). Logo, o Oceano Atlântico tem aproximadamente 323.600.000.000.000.000.000 Trezentos e vinte e três quintilhões e seiscentos quatrilhões de litros.

Quantos zeros tem em um decilhão? Números grandes: Quantos zeros tem em um decilhão?

Número escrito Como se lê 1000 Mil 1 000 000 Milhão 1 000 000 000 Bilhão 1 000 000 000 000 Trilião 1 000 000 000 000 000 Quatrilhão 1 000 000 000 000 000 000 Quintilhão 1 000 000 000 000 000 000 000 Sextilhão 1 000 000 000 000 000 000 000 000 Setilhão 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Octilhão 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Nonilhão 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Decilhão

Como medir a área da superfície de um lago? Atividade Área Como medir a área da superfície de um lago? Livro: Atividade e jogos com Áreas e Volumes – Marion Smoothey – Editora Scipione, 1997

Pode-se dividir a História da Matemática em duas etapas: a matemática pré-helênica e a matemática abstrata, ou matemática propriamente dita, que é aquela que nasceu com os gregos antigos.    

Há milênios os babilônios possuíam métodos de completar quadrados e assim resolviam problemas que em nossa linguagem resultariam em equações quadráticas. Euclides (300 aC) desenvolveu métodos geométricos de completar quadrados, mas não lidava com equações, e sim com grandezas geométricas

Os gregos reverteram a questão dos números. Passaram a considerar “Números” somente os inteiros positivos, a partir do número 2. Estudaram as propriedades dos números naturais. Estudaram as primeiras seqüências infinitas de números figurados.    

A história das sequencias e séries em matemática mostra as dificuldades em se lidar com a idéia do infinito, que se tornou um desafio para muitos matemáticos. A idéia básica de seqüência está ligada às primeiras manifestações da humanidade no que se refere ao conhecimento que hoje é chamado de matemática. A simples possibilidade de contar ou de ordenar uma lista de objetos ou eventos já é uma idéia matemática. Algumas teorias sobre a origem dos números afirmam que a seqüência dos numerais ordinais (primeiro, segundo, terceiro...) teria sido conhecida da humanidade antes mesmo da seqüência dos numerais cardinais (um, dois, três...).    

A explicação para isso estaria no fato de que os numerais ordinais estão mais ligados à lógica de uma seqüência de eventos ordenados temporalmente, de acordo com a teoria que diz que a matemática surgiu da observação de padrões e regularidades principalmente em relação à passagem do tempo. Teria sido crucial, para a sobrevivência da espécie humana, a possibilidade de prever a sucessão das estações do ano, de acordo com a contagem dos dias e a construção dos primeiros calendários. A observação das regularidades temporais teria permitido à humanidade desenvolver técnicas de armazenagem de alimentos para sobreviver no inverno, por exemplo. Assim, o tema das sequencias numéricas estaria ligado às sequencias de eventos astronômicos que, estudados, permitiram à humanidade controlar melhor seus mantimentos, o que definiu a sobrevivência da espécie.    

Ao que tudo indica, as sequencias numéricas passaram a interessar a humanidade devido à necessidade de construção de calendários. Os homens desenvolveram a matemática necessária para registrar e acompanhar os ciclos das estações de um ano completo, percebendo que este ciclo dura aproximadamente 360 dias. Perceberam que o ciclo lunar dura aproximadamente 28 dias. Dividiram o mês lunar em 4 semanas de 7 dias cada uma. Depois, percebendo a necessidade de adequar essas medidas à passagem real do tempo, criaram calendários mais sofisticados, com dias de festa para completar o ano em 365 dias, aumentando para isso a duração de alguns meses. Todo esse estudo das sequencias temporais ajudou a desenvolver a matemática.    

Além de desenvolver a astronomia, os gregos antigos passaram a estudar a chamada Teoria dos Números, identificando as propriedades das sequencias numéricas. Dividiram os números em pares e ímpares, percebendo que formavam sequencias e iniciaram o estudo das chamadas séries matemáticas, ou seja, a soma dos termos de uma seqüência. É atribuída aos pitagóricos (seguidores de Pitágoras de Samos, que viveu entre 570 e 497 aC) a percepção de diversas propriedades das sequencias e séries numéricas. Por exemplo, perceberam que a soma dos n primeiros números é sempre um número triangular, como vemos nos seguintes diagramas:    

  1 3 6 10 15 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5  

Observaram também que a soma dos primeiros n números ímpares é sempre um número quadrado. Veja: 1 4 9 16 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7

  Atividade Mostre que todo número quadrado é a soma de dois triângulares consecutivos.  

Os números quadrados e o teorema de Pitágoras.   Os números quadrados e o teorema de Pitágoras.  

1 4 9 16 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7

1 4 9 16 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 n2 + (2n + 1) = (n+1)2 Se 2n + 1 = m2 , então n = (m2 – 1)/2 e n + 1 = (m2 + 1)/2

m (m2 – 1)/2 (m2 + 1)/2 3 4 5 n2 + (2n + 1) = (n+1)2 Se 2n + 1 = m2 , então n = (m2 – 1)/2 e n + 1 = (m2 + 1)/2, isto é, a fórmula acima se escreve como (m2 – 1)2/4 + m2 = (m2 + 1)2/4 m (m2 – 1)/2 (m2 + 1)/2 3 4 5

O quadrado da soma: uma relação conhecida há muitos milênios a2 + b2 + 2ab = (a+b)2

Álgebra Geométrica Típica da Grécia Antiga Assunto do Livro II de Os Elementos de Euclides Um número é representado por um segmento de reta

Álgebra Geométrica Livro II de Os Elementos de Euclides (300 aC) Fragmento da Proposição 5 ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4

Fragmento da Proposição 5: ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4

ab + (a-b)2/4 = (a+b)2/4

Nome dado no Brasil à fórmula da equação do 2º grau em homenagem a Fórmula de Bháskara Nome dado no Brasil à fórmula da equação do 2º grau em homenagem a Bháskara (ou Bháskara II ou Bhaskaracharya – Bháskara o Professor) Astrônomo hindu que viveu entre 1114 e 1185. Chefe do observatório astronômico de Ujjain, na Índia, local onde já tinham trabalhado os astrônomos e matemáticos Varahamihira (505 - 587) e Brahmagupta (598 - 670). Bháskara I (c. 600 - c. 680) Primeiro a escrever no sistema decimal indo-arábico usando um círculo para o zero.

Fórmula de Bháskara: vem da relação entre quadrados

Fórmula de Bháskara: uma aplicação de quadrados perfeitos

Proporções entre os planetas Atividade Proporções entre os planetas

Terra Vênus Marte Mercúrio Plutão

Júpiter Saturno Urano Netuno Terra Plutão

Sol Terra Júpiter Plutão

Júpiter tem a proporção de 1 pixel Sol Júpiter tem a proporção de 1 pixel Nessa escala a terra é invisível

Nessa escala Júpiter é invisível Sol (1 pixel) Nessa escala Júpiter é invisível Antares é a 15ª estrela mais brilhante no céu. E está há mais de 1000 anos-luz de distância.