Um Problema para TODAS as Idades

Apresentação em tema: "Um Problema para TODAS as Idades"— Transcrição da apresentação:

1 Um Problema para TODAS as Idades
José Maria de Jesus Souza Licenciado em Matemática. Engenheiro Químico Especialista em Docência do 3º. Grau Professor Titular III da Unama (Universidade da Amazônia). Belém - Pará

2 T endo em vista a prática em sala de aula exercida por mim ao longo dos anos, tive a portunidade de me deparar nas diversas séries em que ministrei aulas com o seguinte roblema: O P O Coelho e a Galinha ...

3 Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos do quintal ? ‘’
O Coelho e a Galinha ... ‘’ Num quintal existem galinhas e coelhos, ao todo 11 cabeças e 30 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos do quintal ? ‘’

4 A primeira experiência:
Com alunos da 7ª série - Estudo dos métodos de resolução de sistemas de equações e problemas do 1º Grau, temos: 1 Coelho 1 Galinha 2 pés 4 pés

5 Resolução da 7ª série. Todos sabemos que cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4. Sendo assim se no quintal existissem: 3 galinhas, teriam então 2 × 3 = 6 pés 5 galinhas, teriam então 2 × 5 = 10 pés 8 galinhas, teriam então 2 × 8 = 16 pés X galinhas, teriam então 2x pés Da mesma forma, se existissem no quintal y coelhos, teriam 4y pés de coelho neste quintal.

6 (pés de galinhas + pés de coelhos = 30) que simbolicamente fica
O problema nos informa que, no quintal existem 11 cabeças, logo existem: 11 animais = (nº. de galinhas + nº. de coelhos ) Desta forma se x é o nº. de galinhas e y o nº. de coelhos, simbolicamente podemos escrever que x + y = 11 (I). O problema também nos informa que o total de pés existentes no quintal é 30. Isto é: (pés de galinhas + pés de coelhos = 30) que simbolicamente fica 2x + 4y = 30 (II)

7 O Sistema de Equações (I) e (II).
x + y = 11 2x + 4y = 30 Resolvendo o sistema indicado, encontramos: x = 7 e y = 4. Resposta: No quintal existem 7 galinhas e 4 coelhos.

8 A Segunda experiência:
Com alunos da 6ª série – Solução baseada em uma equação simples do 1º Grau. Para facilitar o raciocinio de alguns alunos mostrei a eles que se dos 11 animais (11 cabeças): 8 fossem galinhas, o nº. de coelhos seria = 3 6 fossem galinhas, o nº. de coelhos seria = 5 3 fossem galinhas, o nº. de coelhos seria = 8 Dessa forma: Se existem 11 animais e o nº. de galinhas é x, o nº. de coelhos é 11 - x.

9 ( pés de galinhas + pés de coelhos ) = 30, ou,
Resolução da 6ª série. Como existem x galinhas, existem 2x pés de galinhas e sendo 11 - x o nº. de coelhos, 4(11 - x) é o nº. de pés de coelhos. O problema nos informa que no quintal existem 30 animais, logo: ( pés de galinhas + pés de coelhos ) = 30, ou, Simbolicamente: 2x + 4(11 - x) = 30 Resolvendo esta equação, encontramos: x = 7. Logo, o nº. de galinhas é 7 e o nº. de coelhos é 4.

10 A Terceira experiência:
Realizei a experiência com 2 turmas de 5ª série. Para a primeira turma - Solução puramente aritmética. Procedi da seguinte maneira: Se no quintal existissem apenas galinhas, o nº. de pés seria 22, visto que, uma galinha possui 2 pés e 11 galinhas totalizariam 2 x 11 = 22 pés.

11 Porém, o nº. de pés registrados no quintal foi de 30,
faltando então 8 ( ), o que me levou a afirmar que no quintal havia animais com mais de 2 pés, no caso os coelhos com 4. Esses 8 pés são de coelhos !!!. Dando 2 para cada um, encontramos a quantidade dos mesmos. Logo o nº. de coelhos é 4 (8 : 2). E se o nº. de coelhos é 4, conclui que o nº. de galinhas é 7 (11 - 4).

12 A Terceira experiência:
Para a segunda turma - Solução puramente aritmética. A suposição foi feita de outra maneira: Se no quintal os animais fossem só coelhos, o nº. de pés seria 44, pois cada coelho possui 4 pés e o total de pés de 11 coelhos é de 11 x 4 = 44, resultado este que não bate com o nº. de pés fornecido no problema.

13 O nº de pés excedentes 14 (44 - 30) correspondem
aos pés de galinhas contados a mais que devem ser retirados aos pares, facilitando o cálculo da quantidade desas galinhas. Sendo assim: o nº. de galinhas é 7 (14 : 2) e, o nº. de coelhos 4 (11 - 7).

14 A Quarta experiência: Fazendo o acompanhamento de professores de 1ª a 4ª séries em sala de aula, por incrível que pareça, o problema surgiu novamente. E encarei com a maior naturalidade e parti para a solução numa turma de 3ª série, que era, no momento a série de acompanhamento. Professor: Quantas cabeças existem no quintal ? Alunos: 11 (onze). Professor: Então tem onze animais, concordam ? Alunos: Sim.

15 Professor: Perguntei ainda, quantos pés tem uma galinha e um coelho ?
Alunos: Uma galinha tem 2 (dois) pés e um coelho 4 (quatro) pés. Professor: Se já responderam corretamente as perguntas, estão capacitados para solucionar o nosso problema !!!. Professor: Vamos então ao quadro de giz enumerar as cabeças, simbolizando cada uma delas com uma bolinha, fazendo em conjunto a contagem das mesmas; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

16 Professor: Colocaram os 2 (dois) pezinhos ? Alunos: Sim.
Professor: Vamos agora colocar dois pezinhos em cada um dos animais. E não esqueçam de fazer as contagens; 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 22 pés Professor: Colocaram os 2 (dois) pezinhos ? Alunos: Sim. Professor: Quantos foram colocados ? Alunos: 22 (vinte e dois). Professor: Então estão sobrando pés, não acham ? Alunos: Sim professor sobraram = 8 (oito) pés.

17 Professor: Vamos agora colocar desses 8 (oito) pés, mais dois para cada animal. Façam isso por favor ... E eles fizeram ... 22 pés 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 16 pés 14 pés 4 Coelhos 7 Galinhas

18 No quintal existem 7 Galinhas e 4 Coelhos
Professor: Todos os pés foram distribuídos não foram ? Alunos: Sim. Professor: Então, quantos animais têm 2 pés ? Alunos: 7 professor. Professor: E quantos possuem 4 pés ? Alunos: 4 professor. Professor: Muito bem !!! No quintal existem 7 Galinhas e 4 Coelhos

19 Conclusão: Em diferentes situações, a resolução de um problema, quando quantificado, requer uma formulação matemática adequada. Para tanto, nestas condições, utiliza-se o que chamamos de “modelo matemático”, que nada mais é do que um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procuram traduzir um fenômeno ou problema real, possibilitando uma melhor compreensão, simulação e previsão do fenômeno em questão. No processo ensino-aprendizagem, cabe ao professor o papel de orientador e parceiro do aluno, procurando conduzi-lo ao ingrediente fundamental que é o estímulo à criatividade. A formação de um cidadão consiste então em estimulá-lo a resolver problemas novos e desafiantes que propiciem o desenvolvimento da imaginação e criatividade.Como parte dessa formação é que apresentamos o problema acima, onde o aluno, dependendo de seu grau de conhecimento pode resolvê-lo. Dá para notar que com o auxílio do professor os alunos foram conduzidos aos diversos raciocínios, cada um com suas limitações, fazendo-os perceberem que existem regras para soluções desses problemas, que podem ser traduzidas para a linguagem matemática e solucionadas através da resolução das equações, dos sistemas correspondentes e também com a utilização de cálculos aritméticos. O professor, como orientador e parceiro do aluno, mostrando a eles as regras, traduzindo-as para a linguagem simbólica etc.dá-se por satisfeito, achando que sua missão está cumprida. Cabe ao aluno aprofundar essas técnicas e desmistificar a matemática tida até então,como sendo um bicho de sete cabeças.