Prof. Wellington D. Previero Cálculo Numérico Prof. Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br www.pessoal.utfpr.edu.br/previero Método de Newton Aula de Cálculo Numérico de Wellington D. Previero foi licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição - NãoComercial - CompartilhaIgual 3.0 Não Adaptada.
Método de Newton Dado o ponto (x0, f(x0)) traçamos a reta L0(x) tangente a curva nesse ponto. y = L0(x) Obtenha a equação da reta y=L0(x) x0
Método de Newton A aproximação x1 da raiz da equação f(x) = 0 é o ponto onde a reta L0(x) intersepta o eixo x. y = L0(x) Obtenha o ponto x1 x1 x0
Método de Newton .
Método de Newton Determinamos a reta L1(x) tangente ao gráfico de f(x) no ponto (x1, f(x1)) y = L1(x) x1
Método de Newton De forma análoga, a aproximação x2 é o ponto onde a reta L1(x) intersepta o eixo x. y = L1(x) x2 x1
Método de Newton .
Método de Newton Assim temos:
Método de Newton n= 0, x[1] = 2.062500, |f(x[1])| = 0.316406 Exercício: Seja f(x)=x2+x-6. Determine uma aproximação para a raiz de f considerando x0=1,5. Considere o critério de parada | f(xk) | < 10-4. n= 0, x[1] = 2.062500, |f(x[1])| = 0.316406 n= 1, x[2] = 2.000762, |f(x[2])| = 0.003812 n= 2, x[3] = 2.000000, |f(x[3])| = 0.000001
Método de Newton
Método de Newton Observe que se considerarmos temos que
Método de Newton Logo, a função é uma função iteração do Método de Ponto Fixo. Assim, a convergência do Método de Newton estará garantida desde que satisfaça o critério de convergência do Método do Ponto Fixo.
Método de Newton Observações a) Rápida convergência; b) Necessidade do cálculo de f’(x); c) Cálculo do valor numérico de xk em f’(x) e f(x) em cada iteração.