PROCESSOS ESTOCÁSTICOS Matemática para simulação de sistemas Profa. Dra. Mariana Godoy Vazquez Miano

Processos Estocásticos Os processos com fila com tempo entre chegadas sucessivas e/ou de atendimento representados por variáveis aleatórias são processos estocásticos (probabilísticos). Def.: Um processo estocástico {X(t) | t E U} é uma família/sequência de variáveis aleatórias X(t) que descreve a evolução de alguma característica X do processo sob análise ao longo do tempo t E U.

Processos Estocásticos A um processo estocástico estão asssociados dois espaços: o espaço de estados (E) e o espaço de parâmetros (U). O espaço E é o conjunto de valores que a variável aleatória X (t) pode assumir; O espaço U é o conjunto de valores assumidos pela variável t (tempos ou índices).

Processos Estocásticos Se E é um conjunto discreto, o processo estocástico é denominado cadeia estocástica; Se E é um conjunto contínuo, temos um processo contínuo; Se U é um conjunto discreto (índices), o processo é denotado por {X(t) |t E U}.

Exemplos Seja Nk a v. a. que representa o número de pessoas na fila no instante em que a k-ésima pessoa começa a ser atendida. Nesse caso, o processo estocástico {Nk | k = 1,2...} é uma cadeia estocástica de parâmetro discreto, com E = {0,1,2...} e U = {1,2,3...}.

Exemplos Seja X(t) a v. a. que representa o número de pessoas que chegaram ao sistema até o tempo t. Nesse caso, o processo estocástico {X(t) | t E U}, é uma cadeia estocástica de parâmetro contínuo, com E = {0,1,2...} e U = [0, ∞).

Exemplos Seja Wk a v. a. que representa o tempo de permanência no sistema da k-ésima pessoa. O processo {Wk(t) | k E U}, é um processo estocástico contínuo de parâmetro discreto, com E = [0, ∞) e U = {1,2,3...}.

Exemplos Seja Y(t) a v. a. que representa o tempo acumulado de atendimento de todas as pessoas até o tempo t. O processo estocástico {Y(t) | t E U}, é um processo estocástico contínuo de parâmetro contínuo, com E = [0, ∞) e U = [0, ∞) .

Na prática, os sistemas com fila são observados ao longo do tempo . Exemplos Na prática, os sistemas com fila são observados ao longo do tempo . Por isso, na modelagem de diversos processos considera-se o espaço de parâmetros contínuo.

Processos Markovianos Def.: Um processo estocástico {X(t) |t E T} é denominado processo markoviano se dada uma sequência de tempos t0 < t1 < t2 < ... < tn < t, a distribuição de probabilidade condicional de X(t) para dados valores de X(t0 ), X(t1 )... X(tn) depende unicamente de X(tn), ou seja: P[X(t) ≤ x | X(tn) = xn, X(tn-1) = xn-1,..., X(t0) = x0] = P[X(t) ≤ x | X(tn) = xn].

Processos Markovianos Essa representação matemática significa que, dada a informação do presente, toda informação passada é irrelevante para a previsão da posição do processo no futuro. A propriedade anterior é denominada “ausência de memória” (memoryless).

Cadeia de Markov Um processo markoviano que possui o espaço de estados discreto é denominado cadeia de Markov. Estas cadeias podem ser representadas esquematicamente por diagramas de fluxo, que corresponde ao processo descrito no exemplo 2.

Cadeia de Markov No diagrama, os nós representa os estados; os arcos representam as transições entre esses estados no tempo. λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 1 2 3 4

Processo de Nascimento e Morte Uma cadeia de Markov é denominada processo de nascimento e morte (Birth-Death Process) se as únicas mudanças permitidas a partir de um determinado estado n do processo são para seus vizinhos imediatos, n+1 ou n-1. A mudança para o estado n+1 representa um nascimento, e para o estado n-1, n>0, uma morte; essas transições se processam com taxas λn e µn respectivamente.

Processo de Nascimento e Morte Diagrama de fluxo de um processo de nascimento e morte λ1 λ2 λ3 λ0 λ4 1 2 3 4 ... µ1 µ2 µ3 µ4 µ5