Magnetostática Cap. 5 Equações da magnetostática Potenciais escalar e vetor Indutâncias (auto e mútua) Campo magnético dipolar Magnetização e correntes de magnetização Força magnetomotriz Densidades efetivas de carga magnética (ferromagnetismo) Condições de contorno em superfícies e interfaces Problemas de condições de contorno

Inovações tecnológicas do Século XIX bobina Eletroímã

Lei de Biot - Savart

 Equivalentes de cargas em movimento : densidades de corrente filiformes, superficiais e volumétricas 

Ex. : Carga puntiforme em movimento ( v << c) q

Princípio da Superposição Ex. Corrente filamentar em segmento ilimitado.

Exercício: Mostre que a força entre dois circuitos obedece a Lei de Newton : . Resp.: como

Existe, portanto, uma força atrativa entre as duas espiras paralelas.

Fluxo magnético

Divergência nula de B implica na inexistência de observação experimental de monopolos magnéticos: Teorema da divergência : Em consequência, define-se o Potencial Vetor A :

Expressão integral para o Potencial Vetor A : Verifique que : Lembrando que J é função das coordenadas (x’, y’, z’) :

Analogia Se em Eletrostática temos : Então em Magnetostática temos :

Sendo Então Pois

Uma vez que x Magnetostática !!!

Lei de Ampère I1 I2 I3 Ex.: mo( I1 +I2 +I 3 ) 6moI

Transformação de Calibre Calibre de Coulomb

Equações do Campo Magnetostático Forma integral Campos magnetostáticos não apresentam dependência do tempo.

Potenciais Magnéticos Caso 

Exercício É possível haver uma onda magnetostática? Se sim, como assim! Sugestão: http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/spinwave.pdf

Ex.: Campo magnético no eixo de uma bobina plana e na vizinhança do eixo. Fluxo sobre o cilíndro : Fluxo na superfície lateral Fluxo através da tampa de cima Fluxo através da tampa de baixo

Sobre o eixo (r = 0) temos : Na vizinhança do eixo temos : Lembando que : ou seja a inclinação de B relativa ao eixo em M é:

Ex.: Sendo então .

Ex.: Potencial vetor em torno de segmento filamentar com corrente elétrica I.

Par de fios paralelos conduzindo correntes de sentidos opostos. Exercício Par de fios paralelos conduzindo correntes de sentidos opostos. Sobre a linha mediatriz entre os fios :

Indutância mútua entre dois circuitos de corrente

Equação de Neumann

Ex.: Cálculo da indutância mútua entre dois solenóides coaxiais.

Exercício Mostre que nesse caso a densidade de energia magnética deve ser escrita como:

Momento de dipolo magnético Campo magnético dipolar

Ex.: Campo magnético dipolar (releitura!)

Momento dipolar magnético (generalização!) ( )

Visão microscópica

Exercício Mostre que a expressão geral do campo magnético dipolar inclusive dentro da distribuição dipolar de raio R é dada por: tal que satisfazendo a condição:

A energia de interação dipolar entre momentos dipolares magnéticos m1 e m2 separados pela distância r constante é descrita pela expressão: Questão Qual a alternativa corresponde a configuração mais estável de energia, (i.e., mínima energia) orientacional magnética. B A B C D E

Interação entre dipolos magnéticos imersos num campo externo

Exercício Obtenha o dipolo magnético associado a uma espira plana no limite r >> a.

Exercício Releitura do exercício anterior sem a imposição r >> a.

Integrais Elípticas

Exercício Obtenha o campo magnético do dipolo magnético do exercício anterior. Mostre que:

Exercício Nova releitura do exercício anterior usando os harmônicos esféricos. l par l impar

Exercício Obtenha o campo dipolar magnético do exercício anterior.

Uma força magnética conservativa no caso de uma distribuição de correntes localizadas num campo magnetostático que varia suavemente Equivale a um monopolo "Nulo"

Energia potencial magnetostática Força Conservativa Energia potencial magnetostática

Magnetização A magnetização é definida através do momento de dipolo magnético por unidade de volume de um material. Didaticamente, é associada as correntes de magnetização (Amperianas). “pictórico”

Da relação vetorial :  x (f F) =  (f ) x F + f ( x F) Admitindo: Da relação vetorial :  x (f F) =  (f ) x F + f ( x F) Gauss-Ostrogradski ∫  X F dV = ∫ dA X F

Materiais magnetizados Densidade de corrente de magnetização volumétrica : Densidade de corrente de magnetização superficial :

B e M são funcionais de H Magnetização : M = dm/dV no SI a unidade de M é A m-1 Susceptibilidade magnética Permeabilidade magnética Permeabilidade magnética relativa

Indução Magnética B e Campo Magnético H

Definição do campo magnético H : Equação constitutiva ou funcional : Em consequência

Lei de Ampère em presença de material magnético

Ex.: Campos magnéticos externos a ferromagnetos Densidades efetivas de carga magnética Distante de uma região com M localizada

Magnetic PeriodicTable

Magnetismo de átomos livres As ligações químicas tendem a tornar todas as camadas e/ou sub-camadas eletrônicas completas, eliminando os spins « desemparelhados » !

Resposta magnética dos materiais Diamagnetismo: provém de camadas e sub-camadas eletrônicas completas Paramagnetismo: provém de (sub-)camadas eletrônicas incompletas. Ferromagnetismo: provém de (sub-)camadas eletrônicos incompletas e spins acoplados via interação de troca quantum-mecânica.

A susceptibilidade magnética é um funcional do campo magnético sendo escrita na forma de um tensor de segunda ordem para levar em conta efeitos de anisotropia de magnetização. Invariância frente as simetrias espaciais torna o tensor c diagonalizável. Três eixos principais de anisotropia. cxx cxy cxz c = cyx cyy cyz czx czy czz cxx ca cb = ca cyy cc cb cc czz

A interação dipolo-dipolo é muito fraca para explicar os ordenamentos magnéticos EDD ~ mB Bdip ~ 3 x 10-6 eV sendo R ~ 2.5 Å e m ~ 1 mB então TC ~ 0,04 K !

Ferromagnetismo é um fenômeno quantum-mecânico relativístico!

Histerese Magnética Wh =  H.dB = 4 BrHC Br HC

Domínios magnéticos Minimização de energia magnética equivale a redução de área/volume de pólos magnéticos ! domínios de fechamento

M texturarizado isotrópico

Energia magnética armazenada espaço material

Força magnetomotriz M =  F = m Ni/lS = m S/lM R = l/mS (relutância) H • d l = 2prH = Ni rm F = m Ni/lS = m S/lM R = l/mS (relutância) l = 2prm Sl = V Ni / l = H B = mH M = R F e = R i (lei de Ohm)

= l/mS

Ex.: Solenóide com núcleo de material magnético macio m >> mo

usando um ímã ... i m g m m g g m g o

Otimização da densidade de energia magnética Volume do gap : AgLg Densidade de energia : ½ Bg2/mo então (½Bg2/mo) AgLg = ½ (Hg Bg)(AgLg) = ½ (Hg Lg)(AgBg)  ½ (Hm Lm)(AmBm) = ½ (Hm Bm)(LmAm) (BH) máximo !

O produto (BH)max é mais importante que a área do ciclo de histerese. Br indica quanto forte é o ímã. HC indica quanto é difícil desmagnetizar o ímã. (BH)maxindica o volume de material necessário para obter uma certa energia.

Ex.: Discontinuidade da intensidade de fluxo magnético. Se •B = 0 e B = mo ( H + M ), então •( H + M ) = 0 e •H = -•M  0 Se M  0 em V e M  0 nas superfícies S1 e S2 , então temos: rm = -•M  0 Algo equivalente a uma densidade de carga magnética efetiva, tal que :

Ex.: Esfera uniformemente magnetizada. Se •B = 0 e B = mo (H+M) Então •(H+M) = 0 e •H = -•M  0 ( M  0 na superfície ! ) Logo, rm = -•M (densidade de carga magnética efetiva:) M = Mox ^ Ex.: no Slide 100 H rm -rm

= mo + B H M

Condições de contorno em interfaces com materiais magnéticos

Interfaces

Aproximação dipolar

Ex.: Blindagem magnética usando uma casca esférica de material permeável num campo magnético uniforme. Temos B = mH somente entre b > r > a. Logo, é preciso resolver apenas a equação de Laplace nas regiões r > b e r < a.

As soluções fisicamente aceitáveis nas três regiões são : As condições de contorno em r = a e r = b são tais que Hq e Br são contínuos. Em termos do potencial escalar magnético estas condições são: (m relativo)

Estas quatro condições são suficientes para a determinação de todas as constantes desconhecidas pois todos os coeficientes com l ≠ 1 anulam-se. Para l = 1 os coeficientes satifazem simultaneamente as equações : As soluções para a1 e d1 são :

O potencial fora da casca esférica corresponde ao campo uniforme Bo mais um campo dipolar com um momento de dipolo a1 orientado paralelo a Bo. Dentro da cavidade há um campo magnético uniforme paralelo à Bo igual em magnitude à d1 . Quando m >> 1, o momento de dipolo a1 e o campo interior d1 tornam-se : Portanto, o campo no interior da casca é proporcional a 1/m e a blindagem magnética com um material de alta permeabilidade torna-se bastante efetiva. Sendo m ~ 103–106 se reduz significativamente o campo no interior da casca esférica.

B ~ 0

Exercício (a) Obtenha o potencial e campo magnéticos de uma esfera uniformente magnetizada. (b) Obtenha B, H e M no interior uma esfera magnetizada imersa em um campo magnetostático.

Exercício Obtenha o potencial e campo magnéticos em torno de um orificio circular num plano condutor com um campo magnético externo assintoticamente tangencial e uniforme em um dos lados (seção 5.13 do livro do Jackson 3a Ed.)

Dipolo magnético puntiforme Momento dipolar: Força exercida por um B externo sobre o dipolo: (1) Identidade vetorial: Expressão alternativa para eq. (1): (2)

Dipolo magnético extenso Densidades de correntes equivalentes : Densidades de cargas magnéticas equivalentes : Força magnética exercida sobre o dipolo (Força de Lorentz) : Discretização em elementos finitos :