Sistema de EDPs com dois potenciais acoplados

Apresentação em tema: "Sistema de EDPs com dois potenciais acoplados"— Transcrição da apresentação:

1 Sistema de EDPs com dois potenciais acoplados
Luiz Antonio Righi – DESP/CT

2 Organização Eletromagnetismo e as EDPs
Tensor de relutividade ou permeabilidade Forma fraca do método de Elementos Finitos Proposta de EDP com dois potenciais Questões para discussão

3 Eletromagnetismo e as EDPs - 1
O eletromagnetismo se estabelece a partir das quatro equações diferenciais de Maxwell H – campo magnético [A/m] B - indução magnética [T] E – campo elétrico [V/m] D – indução elétrica [C/m2]

4 Eletromagnetismo e as EDPs - 2
Considerando as derivadas parciais no tempo muito pequenas, podemos separar as equações de Maxwell em dois grupos: Eletrostática Magnetostática

5 Elas são totalmente independentes!
Leis do magnetismo Lei de Gauss do magnetismo Regra da mão direita H Elas são totalmente independentes!

6 Eletromagnetismo e as EDPs - 3
A solução de cada problema é feito com um potencial escalar ou vetorial. Na magnetostática (nossa área de interesse), utilizamos principalmente o potencial vetor magnético A e o tensor de relutividade.

7 Tensores do magnetismo - 1
O tensor (termo mais geral) é a relação entre os dois campos vetoriais, que modelam o sistema físico real. No magnetismo: tensores de relutividade ou permeabilidade

8 Tensores do magnetismo - 2
A dimensão do tensor depende do tipo de problema: 1D, 2D ou 3D. Qualquer relação entre dois vetores pode ser escrita como: Esta regra vale em 1D, 2D ou 3D. Outras matrizes podem ser “diagonalizadas” em uma matriz de rotação.

9 Tensor=ganho x Rotação

10 Tensores do magnetismo - 3
No caso 2D (mais didático), a matriz de rotação é E o tensor característico do material pode ser o tensor de relutividade Os termos da matriz são obtidos com o modelo de histerese.

11 Tensores do magnetismo - 4
Modelo de histerese: Langevin + “Histerese” B(x,y) H(x,y) Y X

12 Calculando o tensor analiticamente
Considerando duas funções escalares f(x,y) e g(x,y), podemos calcular os termos do tensor, fazendo as derivadas parciais de f e g ...

13 Laplaciano entre duas funções
Em que situações isto é ou não é válido?

14 Tensor = Relação entre “stream” e “Equipotential Lines”
O tensor relaciona duas funções quaisquer, que têm derivadas parciais contínuas, e uma relação entre seus laplacianos. Isto permitiria montar um sistema de equações diferenciais parciais, tendo os dois potenciais como incógnitas.

15 Forma fraca do MEF - 1 Vamos considerar o potencial vetor e a densidade de corrente J no caso 2D, orientado segundo o eixo z E ainda, desconsiderando os termos fora da diagonal principal da matriz de rotação, tem-se o laplaciano ou Eq. de Poisson:

16 Forma fraca do MEF - 2 Adotando elementos finitos triangulares, o potencial em cada nó pode ser a equação de um plano E, como a indução B é o rotacional de A:

17 Forma fraca do MEF - 3 Podemos definir o funcional, correspondendo a um estado de mínimo. cuja derivada de em relação a A resulta no sistema matricial onde: [M] é a matriz de rigidez; [A] é o vetor dos potenciais (incógnitas); e [J] é o vetor das fontes.

18 Proposta com dois potenciais - 1
Barra imantada (B.D.Cullity): O campo magnético obtido pelo MEF é: a formulação clássica de A não se aplica neste caso!?

19 Proposta com dois potenciais - 2
Casos onde H e B não são colineares: campo girante de máquinas elétricas cantos de núcleos de transformadores presença de saturação e histerese.

20 Proposta com dois potenciais - 3
Campos H e B colineares (dois potenciais ortogonais):

21 Proposta com dois potenciais - 4
H e B não colineares (os dois potenciais não são ortogonais):

22 Proposta com dois potenciais - 5
Forma fraca com f(x,y) e g(x,y)

23 PropoSTA COM DOIS POTENCIAIS - 6
Potencial escalar magnético Potencial vetor magnético.

24 Proposta com dois potenciais - 7
Sistema linear para [A] e [phi]: onde:

25 Questões para discussão
Existe forma forte? Como seria possível obter a forma forte? Quais as aplicações do modelo? Existem outras equações semelhantes? Como obter uma solução analiticamente, para uma configuração mais simples? Seria aplicável a outros métodos numéricos, como das diferenças finitas?

26 Obrigado pela atenção. Prof. Luiz Antonio Righi www.ufsm.br/righi
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