Ordenação por Comparação Katia S. Guimarães katia@cin.ufpe.br maio/2000 katia@cin.ufpe.br

Ordenação por Comparação Problema: Dados n números naturais, xi, 1  i  n, identificar, usando apenas comparação de chaves, a permutação desses naturais onde xp1  xp2  xp3  . . .  xpn . Vimos diversas maneiras de resolver este problema, algumas com custo O(n2), outras com custo O(n  log n). Seria possível construir um algoritmo de custo menor? maio/2000 katia@cin.ufpe.br

Árvore de Decisão Um modelo para especificação de algoritmos de ordenação por comparação. É uma árvore binária enraizada, onde: - Nós internos representam comparações - Nós externos representam uma solução encontrada para uma instância, e - Aresta (v, w) representa a seqüência de execução para um dado resultado da comparação no nó v. maio/2000 katia@cin.ufpe.br

Árvore de Decisão Para ordenar um array com três elementos: 1 < 2 NÃO SIM 1 < 3 2 < 3 SIM NÃO SIM NÃO 2 < 3 1 < 3 2 < 1 < 3 1 < 2 < 3 SIM SIM NÃO NÃO 2 < 3 < 1 3 < 2 < 1 1 < 3 < 2 3 < 1 < 2 maio/2000 katia@cin.ufpe.br

Árvore de Decisão Note que uma árvore de decisão representa todas as possíveis computações de um algoritmo, qualquer que seja a entrada. 1 < 2 NÃO SIM 1 < 3 2 < 3 SIM NÃO SIM NÃO 2 < 3 1 < 3 2 < 1 < 3 34, 5, 48 17, 8, 96 1 < 2 < 3 5, 34, 48 8, 17, 96 SIM SIM NÃO NÃO 2 < 3 < 1 48, 5, 34 96, 8, 17 3 < 2 < 1 48, 34, 5 96, 17, 8 1 < 3 < 2 5, 48, 34 8, 96, 17 3 < 1 < 2 34, 48, 5 17, 96, 8 maio/2000 katia@cin.ufpe.br

Árvore de Decisão Para uma entrada fixa, a computação é representada pelo caminho da raiz da árvore até a folha correspondente. 1 < 2 NÃO SIM 1 < 3 2 < 3 SIM NÃO SIM NÃO 2 < 3 1 < 3 2 < 1 < 3 17, 8, 96 1 < 2 < 3 SIM SIM NÃO NÃO 2 < 3 < 1 3 < 2 < 1 48, 34, 5 1 < 3 < 2 5, 48, 34 3 < 1 < 2 maio/2000 katia@cin.ufpe.br

Árvore de Decisão do Mergesort(4) 1  2 NÃO SIM 3  4 3  4 SIM NÃO SIM NÃO 2  4 1  4 2  3 1  3 SIM NÃO NÃO SIM SIM NÃO 1  4 2  3 1  4 2  4 SIM NÃO SIM SIM 2<1<4<3 1  3 1<2<4<3 SIM NÃO 1<2<3<4 2<4<1<3 2<4<3<1 2  4 maio/2000 katia@cin.ufpe.br

Ordenação por Comparação Limite Inferior A saída de um algoritmo de ordenação é uma permutação dos números na entrada. Pergunta: Quantas saídas diferentes existem para uma entrada de tamanho n? Existem n! possíveis saídas. maio/2000 katia@cin.ufpe.br

Ordenação por Comparação Limite Inferior Pergunta: Qual a altura mínima de uma árvore binária com n folhas? A altura mínima é (log n). árvore binária com n! folhas? A altura mínima é (log n!) = (n  log n ). maio/2000 katia@cin.ufpe.br