Grafos Árvores (introdução) Anjolina Grisi de Oliveira Obs: vários slides foram cedidos por Adolfo Almeida Duran (UFBA)

Árvores Uma árvore é um grafo conexo não orientado e sem circuitos simples Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Uma floresta é um grafo cujas componentes conexas são árvores Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Teorema Um grafo não orientado é uma árvore se e somente se existe um único caminho simples entre qualquer par de vértices. Prova Assuma que G é uma árvore. Logo G é um grafo conexo e sem circuitos simples. Sejam x e y dois nós de G. Logo, como G é conexo, existe um caminho simples entre x e y. Adicionalmente, esse caminho é único, pois se existisse um outro caminho, o caminho formado através da combinação do caminho de x até y com o segundo caminho começando por y e chegando a x formaria um circuito, o que contraria a hipótese de que G é uma árvore. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore Enraizada Uma árvore T = (V,E) é denominado enraizada quando algum vértice v é escolhido como especial. Esse vértice v é a raiz da árvore. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore Enraizada Usualmente representamos graficamente a raiz no topo. Podemos transformar uma árvore sem raiz numa árvore enraizada simplesmente escolhendo um vértice como raiz. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

descendentes de j={i,k} Árvore Enraizada ancestrais de j={e,c} descendentes de j={i,k} pai de j=e filhos de j={i,k} nível de j=2 altura da árvore =3 folhas={b,a,i,k,f,h,d} Raiz = c Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore Enraizada O nível de um vértice é o tamanho do único caminho da raiz até ele. nível de j=2 A altura da árvore é o maior nível entre os nós. É o tamanho do maior caminho da raiz até uma das folhas. altura da árvore =3 Raiz = c Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore Enraizada A raiz de uma árvore não possui pai, e todo vértice v diferente de r, possui um único pai. Uma folha é um vértice que não possui filhos. Vértices que possuem filhos são chamados de vértices internos. Quando a raiz é o único nó do grafo ela é uma folha. O nível da raiz é zero, de seus filhos é 1. O nível de um nó é igual ao nível de seu pai mais um. Para dois vértices irmãos v e w, nível(v)=nível(w). A altura de uma árvore é o valor máximo de nível(r) para todo vértice v de T. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Subárvore Seja T(V,E) uma árvore enraizada e v  V. Uma subárvore Tv de T é uma árvore enraizada cuja raiz é v, definida pelo subgrafo induzido pelos descendentes de v mais o próprio v. A subárvore de raiz v é única para cada v  V. s v u v t x w w x Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore m-ária Uma árvore enraizada é chamada de m-ária se todo nó interno não possui mais que m filhos. A árvore é chamada árvore m-ária cheia se todo nó interno possui exatamente m filhos. Uma árvore m-ária com m=2 é chamada de árvore binária. Binária 3-ária Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore m-ária A árvore é chamada árvore m-ária cheia se todo nó interno possui exatamente m filhos. Uma árvore m-ária com m=2 é chamada de árvore binária. s u v t z - x w Binária cheia Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore m-ária Uma árvore enraizada m-ária de altura h é balanceada se todas as folhas estão no nível h ou h-1. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore Balanceada? h=3 Nível(a) =1 Não está balanceada Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore Enraizada Ordenada Na definição de árvore enraizada, é irrelevante a ordem em que os filhos de cada vértice v são considerados. Caso a ordenação seja relevante a árvore é denominada enraizada ordenada. Assim, para cada vértice v pode-se identificar o primeiro filho de v (o mais a esquerda), o segundo filho (o segundo mais a esquerda), etc. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvores Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Árvore enraizada ordenada No caso de árvores binárias, se um nó interno possui dois filhos, temos o filho da esquerda e o filho da direita A árvore cuja raiz é o filho da esquerda de um vértice é chamada de subárvore da esquerda desse vértice. b a e b d c d e Subárvore da esquerda de a Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Uma árvore com n nós possui n-1 arestas. Teorema Uma árvore com n nós possui n-1 arestas. Prova Definimos uma bijeção entre as arestas e os vértices diferentes da raiz, de forma que associamos cada vértice terminal de uma aresta com ela própria. Como existem n-1 nós além da raiz, logo existem n-1 arestas na árvore. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Uma árvore m-ária cheia com i nós internos contem n = mi + 1 nós. Teorema Uma árvore m-ária cheia com i nós internos contem n = mi + 1 nós. Prova Cada vértice com exceção da raiz é filho de um nó interno. Como cada um dos i nós internos possui m filhos, existem mi nós na árvore além da raiz. Consequentemente, a árvore contem n = mi + 1 nós. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Teorema Uma árvore m-ária cheia com n nós possui i=(n-1)/m nós internos e l = ((m-1)n +1)/m folhas i nós internos possui n = mi + 1 nós e f= (m-1)i + 1 folhas f folhas possui n = (mf – 1)/ (m-1) nós e i= (f-1)/(m-1) nós internos Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Teorema - Prova Uma árvore m-ária cheia com n nós possui i=(n-1)/m nós internos e l = ((m-1)n +1)/m folhas Vimos que n= mi + 1, logo i = (n-1)/m. Temos também que n = i + f, onde f é o número de folhas. Logo, f = n – i; f = n – (n-1)/m = (mn – (n-1))/m = (mn – n + 1)/m = ((m-1)n + 1)/m Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Exemplo Suponha que alguém iniciou uma corrente de cartas. Cada pessoa que recebe a carta é convidada a enviá-la para outras quatro pessoas. Quantas pessoas receberam a carta, incluindo a pessoa que iniciou a corrente, se nenhuma pessoa recebeu mais que uma carta e se a corrente acabou depois que 64 pessoas leram a carta e não mais a enviaram? Quantas pessoas enviaram a carta? Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Solução A corrente pode ser representada usando uma árvore 4-ária. Os nós internos correspondem às pessoas que enviaram a carta, e as folhas às pessoas que não a enviaram. Temos que 64 pessoas não enviaram a carta. Assim o número de folhas f é igual a 64. Aplicando o resultado do teorema: n = (mf -1)/(m-1) Temos que n = (4.64 -1)/(4-1) = 85. São então 85 nós e assim 85 – 64 = 21 nós internos, ou pessoas que enviaram as cartas. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Existem no máximo mh folhas em uma árvore m-ária de altura h. Teorema Existem no máximo mh folhas em uma árvore m-ária de altura h. Prova: por indução sobre a altura Cada uma dessas subárvores possui altura no máximo h-1. Portanto, pela H.I. existem no máximo mh-1 folhas em cada uma delas. Como existem no máximo m dessas subárvores, cada uma com no máximo mh-1 folhas, então existem no máximo m.mh-1 = mh folhas.  h-1  h-1  h-1 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Aplicações: Árvore binária de busca Busca de itens numa lista. Cada vértice é rotulado por uma chave de forma que a chave de um vértice é maior do que as chaves de todos os nós da subárvore da esquerda e menor do que as chaves dos nós da subárvore da direita. 55 30 80 20 35 90 45 32 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Construindo uma árvore binária de busca Procedimento recursivo que recebe uma lista de itens. O primeiro item da lista é a raiz da árvore. Para adicionar um novo item compare-o com os nós que já estão na árvore: comece pela raiz e siga para a esquerda se o item é menor que o item que rotula o nó que está sendo comparado ou siga para a direita, caso contrário. Quando o novo item é menor que um item cujo nó não tem filho da esquerda, adicione-o como filho da esquerda desse nó. Analogamente, quando o item é maior que o item cujo nó não tem filho da direita, adicione-o como filho da direita desse nó, Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Construindo uma árvore binária de busca Construa uma árvore binária de busca a partir da seguinte lista: 55,30,80,90,35,32,20,45 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Caminhamento em pré-ordem Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz r. Se T possui apenas r, então o caminhamento em pré-ordem de T é r. Caso contrário, sejam T1, T2,... Tn as subárvores de r da esquerda para a direita. O caminhamento em pré-ordem começa visitando r e continua fazendo um caminhamento em pré-ordem em T1, em seguida em T2, e assim sucessivamente até que Tn seja percorrida em pré-ordem. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Exemplo a b d c e f g i h j k m l n o p Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Caminhamento em ordem Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz r. Se T possui apenas r, então o caminhamento em ordem de T é r. Caso contrário, sejam T1, T2,... Tn as subárvores de r da esquerda para a direita. O caminhamento em ordem começa fazendo um percorrendo em ordem em T1 em ordem, em seguida visita r, e continua fazendo um caminhamento em ordem em T2, em T3 , e finalmente em Tn . Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Caminhamento em pós-ordem Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz r. Se T possui apenas r, então o caminhamento em pós-ordem de T é r. Caso contrário, sejam T1, T2,... Tn as subárvores de r da esquerda para a direita. O caminhamento em pós-ordem começa percorrendo T1 em pós-ordem, em seguida T2, T3 , ... Tn , e finaliza visitando r. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Notação infixa, pré-fixa e pós-fixa Podemos representar expressões complicadas, tais como proposições compostas, combinações de conjuntos, e expressões aritméticas usando árvores enraizadas ordenadas. O nós internos representam operações As folhas representam as variáveis ou valores As operações são executas na subárvore da esquerda e depois na direita Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Notação infixa: exemplo Árvore que representa a expressão ((x+y)^2) + ((x-4)/3): A árvore binária é construída de baixo para cima. Construímos a subárvore (x+y), depois a incorporamos como parte de uma subárvore maior que representa (x+y)^2. ^ + + 2 x y x y Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Notação infixa: ((x+y)^2) + ((x-4)/3) Do mesmo modo a subárvore (x-4) é construída e incorporada à subárvore maior de (x-4)/3 ^ + + 2 x y x y / - - 3 x 4 x 4 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Notação infixa: ((x+y)^2) + ((x-4)/3) Por último as subárvore de ((x+y)^2) e de ((x-4)/3) são combinadas para formar a expressão toda + ^ / + 2 - 3 x y x 4 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Caminhamento em ordem: ((x+y)^2) + ((x-4)/3) + ^ / + 2 - 3 x y x 4 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Qual é a forma pré-fixa da expressão ((x+y)^2) + ((x-4)/3) ? (notação polonesa) Fazemos um caminhamento em pré-ordem + ^ + x y 2 / - x 4 3 + ^ / + 2 - 3 x y x 4 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Qual o valor da expressão + - * 2 3 5 / ^2 3 4 ? + - * 2 3 5 / ^2 3 4 + - * 2 3 5 / 8 4 + - 6 5 2 + - * 2 3 5 / 8 4 + - 6 5 2 + - * 2 3 5 2 + 1 2 + - * 2 3 5 2 + 1 2 + - 6 5 2 3 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Qual é a forma pós-fixa da expressão ((x+y)^2) + ((x-4)/3) ? Fazemos um caminhamento em pós-ordem x y + 2 ^ x 4 – 3 / + + ^ / + 2 - 3 x y x 4 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Qual o valor da expressão em notação pós-fixa? 7 2 3 * - 4 ^9 3 / + 7 6 - 4 ^9 3 / + 1 4 ^ 9 3 / + 1 9 3 / + 1 3 + 4 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Encontre a árvore enraizada ordenada que representa a seguinte proposição composta (¬(pΛq))↔(¬p v ¬q) ¬ ¬ Λ ↔ p q p q v ¬ v ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ Λ Λ p q q p q p q p Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Pré-fixa: ↔¬Λpqv¬p¬q Pós-fixa: pqΛ¬p¬q¬v↔ Forneça a notação pré-fixa e pós-fixa dessa expressão (¬(pΛq))↔(¬p v ¬q) Pré-fixa: ↔¬Λpqv¬p¬q ↔ Pós-fixa: pqΛ¬p¬q¬v↔ v ¬ O caminhamento em ordem colocaria a negação imediatamente após o seu operando. Isso acontece sempre com os operadores unários. ¬ ¬ Λ q p q p A expressões em notação pré-fixa e pós-fixa não são ambíguas. Por esse motivo, são utilizadas em computação. Especialmente na construção de compiladores Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Em seguida, escreva a mesma expressão em notação infixa. Desenhe a árvore enraizada ordenada da seguinte expressão aritmética escrita usando a notação pré-fixa. + * + - 5 3 2 1 4 Em seguida, escreva a mesma expressão em notação infixa. + * 4 ((((5-3)+2)*1)+4) 1 + - 2 5 3 Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Mais aplicações de árvores 1 Árvores de decisão 2 Código de prefixo Pode ser usado em compactação de arquivos ou criptografia Considere o problema em que letras são codificadas por sequências de bits Uma maneira de garantir que nenhuma sequência de bits corresponde a mais de uma sequência de letras, é escolher códigos de forma que a cadeia de bits para uma letra nunca ocorre como prefixo de uma cadeia de bits de outra letra. Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

Construa a árvore binária com os códigos de prefixo que representam os seguintes esquemas de codificação: 1) a:11, e:0, r:101, s:100 2) a:1,e:01,r:001, s:0001, n:00001 1 e 1 a 1 s r Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE

2) a:1,e:01,r:001, s:0001, n:00001 1 a 1 1 e r 1 s Matemática Discreta/ Grafos CIn - UFPE